Transpor uma Matriz: 11 Passos (com Imagens)

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Degraus
Pontas

Uma transposição de matrizes é uma ferramenta matemática útil para entender a estrutura de matrizes. Funções que você já conhece de matrizes, como quadrado e simetria, influenciam os resultados da transposição de maneira óbvia. A transposição também serve para expressar vetores como matrizes, ou calcular os produtos de vetores. Ao lidar com matrizes complexas, o conceito intimamente relacionado de uma transposição conjugada o ajudará com muitos problemas.

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Parte 1 de 3: Transpondo uma matriz

Imagem intitulada Transpor uma Matriz Etapa 1

1. Comece com qualquer matriz. Você pode transpor qualquer matriz independentemente do número de linhas e colunas. Matrizes quadradas, com um número igual de linhas e colunas, são as mais transpostas, então usaremos uma matriz quadrada simples como exemplo:

matriz uma =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

Imagem intitulada Transpor uma Matriz Etapa 2

2. Faça da primeira linha da matriz a primeira coluna da transposição. Reescreva a primeira linha da matriz como uma coluna:

Transposição da matriz A = A

Primeira coluna de A:
1
2
3

Imagem intitulada Transpor uma Matriz Etapa 3

3. Repita para as linhas restantes. A segunda linha da matriz original torna-se a segunda coluna da transposição. Repita esse padrão até transformar cada linha em uma coluna:

uma =
1 4 7
2 5 8
3 6 9

Imagem intitulada Transpor uma Matriz Etapa 4

4. Pratique em uma matriz não quadrada. A transposição é exatamente a mesma para uma matriz não quadrada. Você reescreve a primeira linha como a primeira coluna, a segunda linha como a segunda coluna e assim por diante. Aqui está um exemplo codificado por cores para mostrar onde os elementos terminam:

matriz z =
4 7 2 1
3 9 8 6

matriz z =
4 3
7 9
2 8
1 6

Imagem intitulada Transpor uma Matriz Etapa 5

5. Expresse a transposição matematicamente. O conceito é bastante simples, mas é bom poder descrevê-lo em termos matemáticos. Nenhum jargão é necessário fora da notação matricial básica:

Se a matriz B é uma m X n matriz (m linhas e n colunas), então a matriz transposta B é uma n X m matriz (n linhas e m colunas).

Para cada elemento b_xy (X-a, y-a coluna) em B, a matriz B tem um elemento igual em b_yx (y-a fila, X-a coluna).

Parte 2 de 3: Casos especiais

Imagem intitulada Transpor uma Matriz Etapa 6

1. (M = M. A transposição de uma transposição é a matriz original. Isso faz muito sentido, já que você está apenas trocando as linhas e colunas. Trocá-los novamente o levará de volta ao início.

Imagem intitulada Transpor uma Matriz Etapa 7

2. Incline as matrizes quadradas sobre a diagonal principal. Em uma matriz quadrada, uma transposição `inclinará` a matriz ao longo da diagonal principal. Em outras palavras, os elementos em uma linha diagonal do elemento a₁₁ no canto inferior direito permanecem os mesmos. Os outros elementos se moverão na diagonal e terminarão na mesma distância da diagonal, no lado oposto.

Se você não conseguir visualizar isso, desenhe uma matriz 4x4 em um pedaço de papel. Agora dobre sobre a diagonal principal. Você vê como os elementos de um₁₄ e um₄₁ tocar um ao outro? Eles trocam de lugar na transposição, como qualquer outro par que se toca quando dobrado.

Imagem intitulada Transpor uma Matriz Etapa 8

3. Transpor uma matriz simétrica. Uma matriz simétrica é simétrica em relação à diagonal principal. Se usarmos o `tilt` ou `fold` como descrito acima, podemos ver imediatamente que nada muda. Todos os pares de elementos que trocam de lugar já eram idênticos. Na verdade, esta é a maneira padrão de definir uma matriz simétrica. Se a matriz A = A, então a matriz A é simétrica.

Parte 3 de 3: Transposição conjugada de uma matriz complexa

Imagem intitulada Transpor uma Matriz Etapa 9

1. Comece com uma matriz complexa. Matrizes complexas têm elementos com um componente real e imaginário. Embora você possa fazer uma transposição regular dessas matrizes, a maioria dos cálculos práticos são transposições conjugadas.

Matriz C =
2+eu 3-2eu
0+eu 5+0eu

Imagem intitulada Transpor uma Matriz Etapa 10

2. Pegue a conjugação complexa. A conjugação complexa altera o sinal dos componentes imaginários, sem alterar os componentes reais. Execute esta operação para todos os elementos da matriz.

Conjugação complexa de C =
2-eu 3+2eu
0-eu 5-0eu

Imagem intitulada Transpor um passo de matriz 11

3. Transponha os resultados. Faça uma conversão comum do resultado. A matriz que você obtém é a transposição conjugada da matriz original.

Transposição conjugada de C = C =
2-eu 0-eu
3+2eu 5-0eu

Pontas

Este artigo usa a notação A para denotar a conversão da matriz A. A notação A` ou Ã significa o mesmo.
Este artigo refere-se à conversão conjugada da matriz A como A, a notação mais comum em álgebra linear. Os físicos quânticos costumam usar A em vez. A* é outra opção, mas tente evitar isso, pois algumas fontes usarão este símbolo para indicar uma conjugação complexa.