Encontrar a soma de uma sequência aritmética

Contente

Uma sequência aritmética é uma sequência de números em que cada número aumenta de um valor constante. Para a soma de uma sequência aritmética, você pode somar todos os números. No entanto, isso não é realmente prático quando a sequência contém um grande número de termos. Em vez disso, você pode encontrar rapidamente a soma de cada sequência aritmética multiplicando a média do primeiro e do último número pelo número de termos na sequência.

Degraus

Parte 1 de 3: Analisando sua sequência

Imagem intitulada Encontre a soma de uma sequência aritmética Passo 1
1. Certifique-se de ter uma sequência aritmética. Uma sequência aritmética é uma lista ordenada de números, onde a mudança dos números é constante. Este método só funciona se o seu conjunto de números for uma sequência aritmética.
  • Para determinar se você está lidando com uma sequência aritmética, encontre a diferença entre o primeiro ou o último par de números. Certifique-se de que a diferença é sempre a mesma.
  • Por exemplo, a sequência dos números 10, 15, 20, 25, 30 é uma sequência aritmética, porque a diferença entre cada número é constantemente cinco.
Imagem intitulada Encontre a soma de uma sequência aritmética Etapa 2
2. Determine o número de termos em sua sequência. Todo número é um termo. Se apenas um número for mencionado, você pode contá-los. Se você conhece o primeiro número, o último número e o fator de diferença (a diferença entre cada número), você pode usar uma fórmula para determinar o número de números. Este número é apresentado pela variável n{estilo de exibição n}n.
  • Por exemplo, se você deseja calcular a soma das séries 10, 15, 20, 25, 30, então n=5{estilo de exibição n=5}n=5, porque há cinco números na sequência.
    • Imagem intitulada Encontre a soma de uma sequência aritmética Passo 3
    3. Encontre o primeiro e o último número na sequência. Você precisa conhecer os dois números para calcular a soma da sequência aritmética. Muitas vezes o primeiro número será um, mas nem sempre. Defina a variável uma1{displaystyle a_{1}}a_{{1}} igual ao primeiro número da sequência, e uman{displaystyle a_{n}}um}} igual ao último número da sequência.
  • Por exemplo, na sequência 10, 15, 20, 25, 30 uma1=10{displaystyle a_{1}=10}a_{{1}}=10, e uman=30{estilo de exibição a_{n}=30}a_{{n}}=30.

    • Parte 2 de 3: Calcule a soma

    Imagem intitulada Encontre a soma de uma sequência aritmética Etapa 4
    1. Escreva a fórmula para encontrar a soma de uma sequência aritmética. A fórmula é sn=n(uma1+uman2){displaystyle S_{n}=n({frac {a_{1}+a_{n}}{2}})}S_{{n}}=n({frac{a_{{1}}+a_{{n}}}{2}}), através do qual sn{estilo de exibição S_{n}}S_{{n}} é igual à soma da série.
    • Observe que esta fórmula indica que a soma da sequência aritmética é igual à média do primeiro e do último número multiplicado pelo número de números.
    Imagem intitulada Encontre a soma de uma sequência aritmética Passo 5
    2. Insira os valores n{estilo de exibição n}n, uma1{displaystyle a_{1}}a_{{1}} e uman{displaystyle a_{n}}um}} na fórmula em. Certifique-se de substituir corretamente.
  • Por exemplo, se houver cinco números em sua sequência, onde 10 é o primeiro número e 30 é o último número, sua fórmula ficará assim: sn=5(10+302){displaystyle S_{n}=5({frac {10+30}{2}})}S_{{n}}=5({frac{10+30}{2}}).
    • Imagem intitulada Encontre a soma de uma sequência aritmética Passo 6
    3. Calcule a média do primeiro e do segundo número. Você faz isso somando os dois números e dividindo por dois.
  • Por exemplo:
    sn=5(402){displaystyle S_{n}=5({frac {40}{2}})}S_{{n}}=5({frac{40}{2}})
    sn=5(20){estilo de exibição S_{n}=5(20)}S_{{n}}=5(20)
    • Imagem intitulada Encontre a soma de uma sequência aritmética Passo 7
    4. Multiplique a média pelo número de números na série. Isto dá-lhe a soma da sequência aritmética.
  • Por exemplo:
    sn=5(20){estilo de exibição S_{n}=5(20)}S_{{n}}=5(20)
    sn=100{estilo de exibição S_{n}=100}S_{{n}}=100
    Então a soma da série (10, 15, 20, 25, 30) é igual a 100.

    • Parte 3 de 3: Completando os problemas de amostra

    Imagem intitulada Encontre a soma de uma sequência aritmética Passo 8
    1. Encontre a soma dos números de 1 a 500. Incluir todos os números inteiros consecutivos no cálculo.
    • Determine o número de termos (n{estilo de exibição n}n) nas séries. Como você está contando todos os números inteiros consecutivos até 500, inclusive, n=500{estilo de exibição n=500}n=500.
    • Determine o primeiro (uma1{displaystyle a_{1}}a_{{1}}) e por ultimo (uman{displaystyle a_{n}}um}}) número na sequência. Como assumimos a série de 1 a 500, é válido que uma1=1{displaystyle a_{1}=1}a_{{1}}=1 e uman=500{displaystyle a_{n}=500}a_{{n}}=500.
    • Encontre a média de uma1{displaystyle a_{1}}a_{{1}} e uman{displaystyle a_{n}}um}}: 1+5002=250,5{displaystyle {frac {1+500}{2}}=250,5}{frac{1+500}{2}}=250,5.
    • Multiplique a média por n{estilo de exibição n}n: 250.5×500=125,250{displaystyle 250.5vezes 500=125.250}250,5vezes 500=125,250.
    Imagem intitulada Encontre a soma de uma sequência aritmética Passo 9
    2. Encontre a soma da sequência aritmética indicada. O primeiro número da sequência é três. O último número da sequência é 24. O fator de diferença é sete.
  • Determine o número de números (n{estilo de exibição n}n) nas séries. Como você começa com três, termina com 24 e adiciona sete a cada vez, a sequência de números é 3, 10, 17, 24. (O fator de diferença é a diferença entre cada número na série.) Isso significa que n=4{estilo de exibição n=4}n=4
  • Determine o primeiro (uma1{displaystyle a_{1}}a_{{1}}) e por ultimo (uman{displaystyle a_{n}}um}}) número na sequência. Como a sequência é de 3 a 24, uma1=3{displaystyle a_{1}=3}a_{{1}}=3 e uman=24{estilo de exibição a_{n}=24}a_{{n}}=24.
  • Encontre a média de uma1{displaystyle a_{1}}a_{{1}} e uman{displaystyle a_{n}}um}}: 3+242=13,5{displaystyle {frac {3+24}{2}}=13,5}{frac{3+24}{2}}=13,5.
  • Multiplique a média por n{estilo de exibição n}n: 13,5×4=54{estilo de exibição 13,5vezes 4=54}13,5vezes 4=54.
    • Imagem intitulada Encontre a soma de uma sequência aritmética Passo 10
    3. Resolva o seguinte problema. Mara poupa 5 euros na primeira semana do ano. Durante o resto do ano, ela aumenta suas economias em 5 euros todas as semanas. Quanto dinheiro Mara economizou no final do ano?
  • Determine o número de termos (n{estilo de exibição n}n) nas séries. Porque Mara economiza por 52 semanas, (1 ano), n=52{estilo de exibição n=52}n=52.
  • Determine o primeiro (uma1{displaystyle a_{1}}a_{{1}}) e por ultimo (uman{displaystyle a_{n}}um}}) número na sequência. A primeira quantia que ela economiza é de cinco euros, então uma1=5{displaystyle a_{1}=5}a_{{1}}=5. Para calcular o valor total economizado na última semana do ano, calculamos 5×52=260{displaystyle 5times 52=260}5vezes 52=260. assim uman=260{displaystyle a_{n}=260}a_{{n}}=260.
  • Determina a média de uma1{displaystyle a_{1}}a_{{1}} e uman{displaystyle a_{n}}um}}: 5+2602=132,5{displaystyle {frac {5+260}{2}}=132,5}{frac{5+260}{2}}=132,5.
  • Multiplique a média por n{estilo de exibição n}n: 135,5×52=6890{displaystyle 135,5times 52=6890}135,5vezes 52=6890. Então ela economizou € 6.890 no final do ano.

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