Encontrando cada termo de uma sequência aritmética

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Uma sequência aritmética é qualquer sequência de números que, consecutivamente, diferem uns dos outros por um valor constante. Por exemplo, a sequência de números pares, $0, 2, 4, 6, 8$ $0,2,4,6,8$ ... é uma sequência aritmética, porque a diferença de um número na sequência em relação ao próximo é sempre igual a dois. Se você sabe que está lidando com uma sequência aritmética, pode ser solicitado que você determine o próximo número na sequência. Você também pode ser solicitado a preencher um número ausente na sequência. E, eventualmente, você pode querer saber como determinar o 100º número sem realmente escrever todos os cem números no. Algumas etapas simples podem ajudá-lo com cada uma dessas tarefas.

Degraus

Método 1 de 4: Encontrando o próximo número em uma sequência aritmética

Imagem intitulada Encontre qualquer termo de uma sequência aritmética Etapa 1

1. Encontre o fator de diferença da série. Quando você é apresentado a uma coleção de números, pode-se afirmar que é uma sequência aritmética, ou você terá que inventar isso sozinho. Pelo menos o primeiro passo é o mesmo. Selecione os dois primeiros números consecutivos no conjunto. Subtrair o primeiro número do segundo número. O resultado é o fator de diferença da sua série.

Por exemplo, suponha que você tenha a coleção $1, 4, 7, 10, 13$ $1,4,7,10,13$ .... Faça isso então $4 - 1$ $4-1$ para obter o fator de diferença 3.
Suponha que você tenha uma coleção de números descendentes, como $25, 21, 17, 13$ $25,21,17,13$ ... Então você ainda subtrai o primeiro número do segundo para encontrar a diferença. Neste caso, isso dá $21 - 25 = - 4$ $21-25=-4$ . O resultado negativo significa que sua coleção diminui da esquerda para a direita. Certifique-se sempre de que o sinal da diferença corresponde à direção em que os números parecem ir.

Imagem intitulada Encontre qualquer termo de uma sequência aritmética Etapa 2

2. Verifique se o fator de diferença é constante. Determinar o fator de diferença apenas para os dois primeiros números não garante que o conjunto seja uma sequência aritmética. Você precisa ter certeza de que a diferença é mantida consistentemente ao longo da série. Verifique a diferença subtraindo dois números consecutivos no conjunto. Se o resultado for consistente para um ou dois outros pares de números, você provavelmente está lidando com uma sequência aritmética.

Continuamos a trabalhar com o mesmo exemplo,

1, 4, 7, 10, 13

$1,4,7,10,13$ Escolha o segundo e terceiro número do conjunto. Faz

7 - 4

$7-4$ e você verá que a diferença ainda é igual a 3. Para confirmar isso, escolha outro exemplo e faça

13 - 10

$13-10$ descobrir que a diferença é constantemente 3. Agora você pode ter certeza de que está lidando com uma sequência aritmética.

É possível que um conjunto de números pareça ter as propriedades de uma sequência aritmética baseada nos primeiros números e depois se desvie deles. Por exemplo, pegue o conjunto

1, 2, 3, 6, 9

$1,2,3,6,9$ ... A diferença entre o primeiro e o segundo número é 1 e a diferença entre o segundo e o terceiro número também é 1. No entanto, a diferença entre o terceiro e o quarto número é 3. Como a diferença não vale para todos os números do conjunto inteiro, esta não é uma sequência aritmética.

Imagem intitulada Encontre qualquer termo de uma sequência aritmética Etapa 3

3. Adicione o fator de diferença ao último número. É fácil encontrar o próximo número em uma sequência aritmética quando você conhece o fator de diferença. Basta adicionar o fator de diferença ao último último número do conjunto e você obtém o seguinte número.

Por exemplo, no exemplo de

1, 4, 7, 10, 13

$1,4,7,10,13$ ..., você pode determinar o próximo número no conjunto adicionando o fator de diferença 3 ao último número fornecido. Faz

13 + 3

$13+3$ e você obtém 16, que é o próximo número. Você pode continuar adicionando 3 para tornar a sequência tão longa quanto quiser. Por exemplo, a sequência pode ser

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25

$1,4,7,10,13,16,19,22,25$ ... Você pode continuar com isso indefinidamente.

Método 2 de 4: Procure um número ausente

Imagem intitulada Encontre qualquer termo de uma sequência aritmética Etapa 4

1. Confirme que você está começando com uma sequência aritmética. Em alguns casos, você está lidando com uma coleção de números com um número ausente no meio. Como mencionado anteriormente, comece verificando se sua coleção é uma sequência aritmética. Selecione dois números consecutivos e encontre a diferença entre eles. Em seguida, verifique isso com dois outros números consecutivos na sequência. Se a diferença for a mesma, você pode assumir que está lidando com uma sequência aritmética e pode continuar.

Por exemplo, suponha que você tenha a sequência $0, 4$ $0,4$ ,___, $12, 16, 20$ $12,16,20$ ... Comece com a dedução $4 - 0$ $4-0$ e você recebe 4 como diferença. Compare isso com dois outros números consecutivos, como $16 - 12$ $16-12$ . A diferença é novamente 4. Agora você pode continuar.

Imagem intitulada Encontre qualquer termo de uma sequência aritmética Etapa 5

2. Adicione o fator de diferença ao número do espaço vazio. Isso é equivalente a adicionar um número ao final de uma sequência. Encontre o número imediatamente antes do espaço vazio em sua sequência. Este é o `último` número conhecido. Adicione a diferença encontrada a esse número e você obtém o número que deve caber no lugar do desconhecido.

Em nosso exemplo,

0, 4

$0,4$ ,____,

12, 16, 20

$12,16,20$ ..., a incógnita é igual a 4 e a diferença desta série também é 4. Então isso é somado

4 + 4

$4+4$ e assim você obtém 8, o número que pode ser preenchido para o desconhecido.

Imagem intitulada Encontre qualquer termo de uma sequência aritmética Etapa 6

3. Subtraia o fator de diferença do número após a incógnita. Para ter certeza de que encontrou a resposta certa, verifique novamente na outra direção. Uma sequência aritmética deve ir consistentemente em uma determinada direção. Se você for da esquerda para a direita e continuar adicionando 4, poderá fazer o oposto da direita para a esquerda e subtrair 4 do número anterior.

No exemplo,

0, 4

$0,4$ ,___,

12, 16, 20

$12,16,20$ …, o número imediatamente após a incógnita é igual a 12. Subtraia o fator de diferença 4 deste número e você obtém

12 - 4 = 8

$12-4=8$ . O resultado 8 pode então ser preenchido para o desconhecido.

Imagem intitulada Encontre qualquer termo de uma sequência aritmética Passo 7

4. Compare seus resultados. Os dois resultados que você obtém adicionando (da esquerda para a direita) ou subtraindo (da direita para a esquerda) devem corresponder. Se sim, então você encontrou o número que faltava. Se eles não corresponderem, você deve verificar seu trabalho novamente. Talvez você não esteja lidando com uma sequência aritmética pura.

No exemplo, os dois resultados de

4 + 4

$4+4$ e

12 - 4

$12-4$ ambos respondem 8. Então o número que falta nesta sequência aritmética é 8. A série completa é

0, 4, 8, 12, 16, 20

$0,4,8,12,16,20$ ...

Método 3 de 4: Determine um termo arbitrário de uma sequência aritmética

Imagem intitulada Encontre qualquer termo de uma sequência aritmética Etapa 8

1. Encontre o primeiro número da série. Nem toda sequência começa com os números 0 ou 1. Olhe para o conjunto de números que você tem e encontre o primeiro número. Este é o seu ponto de partida, que pode ser identificado com variáveis, como a(1).

É prática comum para sequências aritméticas trabalhar com a variável a(1), que representa o primeiro número da sequência. É claro que você pode escolher qualquer variável, mas o resultado deve ser o mesmo.
Por exemplo, dada a série $3, 8, 13, 18$ $3,8,13,18$ …, é o primeiro número $3$ $3$ , que pode ser matematicamente denotado como a(1).

Imagem intitulada Encontre qualquer termo de uma sequência aritmética Etapa 9

2. Determine o fator de diferença como d. Determine o fator de diferença para a série como indicado acima. Neste exemplo, o fator de diferença é igual a

8 - 3

$8-3$ , e portanto 5. Ao comparar com os outros números da sequência, obtém-se o mesmo resultado. Denotamos esse fator de diferença com a variável matemática d.

Imagem intitulada Encontre qualquer termo de uma sequência aritmética Etapa 10

3. Use a fórmula explícita. Uma fórmula explícita é uma equação matemática que você pode usar para encontrar qualquer número em uma sequência aritmética sem ter que escrever a sequência inteira. A fórmula explícita para uma sequência matemática é

uma (n) = uma (1) + (n - 1) d

$a(n)=a(1)+(n-1)d$ .

O número a(n) pode ser lido como “o enésimo número de a”, onde n é o número na sequência que você deseja encontrar e a(n) é o valor real desse número. Por exemplo, se você for solicitado a encontrar o centésimo item de uma sequência aritmética, n é igual a 100. Observe que n é igual a 100, neste exemplo, mas a(n) é o valor do centésimo número, não o próprio número 100.

Imagem intitulada Encontre qualquer termo de uma sequência aritmética Etapa 11

4. Preencha todos os dados para resolver o problema. Usando esta fórmula explícita para sua sequência, preencha todos os dados que você tem à sua disposição para determinar o número que você precisa.

Por exemplo, neste exemplo,

3, 8, 13, 18

$3,8,13,18$ …, sabemos que a(1), o primeiro número, é igual a 3 e que o fator de diferença d é igual a 5. Suponha que você seja solicitado a encontrar o centésimo número nessa sequência. Então n=100 e (n-1)=99. A fórmula explícita completa, com os dados inseridos, é então

uma (100) = 3 + (99) (5)

$a(100)=3+(99)(5)$ . Isso pode ser simplificado para 498, o centésimo número dessa série.

Método 4 de 4: Use a fórmula explícita para obter mais dados

Imagem intitulada Encontre qualquer termo de uma sequência aritmética Etapa 12

1. Reorganize a fórmula explícita para encontrar outras variáveis. Use a fórmula explícita e alguma álgebra simples para encontrar várias informações sobre a sequência aritmética. Na sua forma original (

uma (n) = uma (1) + (n - 1) d

$a(n)=a(1)+(n-1)d$ ), é a fórmula explícita projetada para resolver um_n e dá-lhe o enésimo número da série. No entanto, você pode manipular essa fórmula matematicamente para resolver outras variáveis também.

Por exemplo, suponha que você saiba o final de uma sequência de números, mas gostaria de saber o início da sequência. Em seguida, reorganize a fórmula para obter $uma (1) = (n - 1) d - uma (n) .$ $a(1)=(n-1)d-a(n)$
Se você conhece o ponto inicial e o ponto final de uma sequência aritmética, mas deseja saber quantos números existem no conjunto, pode usar a fórmula explícita para resolver n. Isso então se torna $n = uma (n) - uma (1) d + 1$ $n={frac{a(n)-a(1)}{d}}+1$ .
Se você primeiro quiser passar pelas regras básicas da álgebra que você precisa para poder calcular isso, leia mais sobre álgebra ou equações algébricas simples.

Imagem intitulada Encontre qualquer termo de uma sequência aritmética Etapa 13

2. Encontrar o primeiro número de uma série. Você pode saber que o 50º número em uma sequência aritmética é igual a 300 e que os números aumentam em 7 (o fator de diferença), mas gostaria de saber qual foi o primeiro número da sequência. Use a fórmula explícita modificada para resolver a1 para descobrir sua resposta.

Use a equação

uma (1) = (n - 1) d - uma (n)

$a(1)=(n-1)d-a(n)$ e preencha todas as informações que você tem. Como você sabe que o 50º número é 300, você também sabe que n=50, n-1=49 e a(n)=300. Além disso, o fator de diferença d também é fornecido, que é 7. Então a fórmula fica

uma (1) = (49) (7) - 300

$a(1)=(49)(7)-300$ . Isso está sendo trabalhado

343 - 300 = 43

$343-300=43$ . A sequência que você começou em 43 e tem um fator de diferença de 7. Então a sequência se parece com 43,50,57,64,71,78…293,300.

Imagem intitulada Encontre qualquer termo de uma sequência aritmética Etapa 14

3. Determinar o comprimento de uma sequência. Suponha que você saiba como a sequência começa e termina, mas precisa descobrir quanto tempo a sequência é. Em seguida, use a fórmula modificada

n = uma (n) - uma (1) d + 1

$n={frac{a(n)-a(1)}{d}}+1$ .

Suponha que você saiba que uma dada sequência aritmética começa com 100 e soma 13. Além disso, também é dado que o último número é 2856. Para encontrar o comprimento da sequência, use os números a1=100, d=13 e a(n)=2856. Aplique esses números à fórmula para obter

n = 2856 - 100 13 + 1

$n={frac{2856-100}{13}}+1$ . Depois de resolver isso, você terá

n = \frac{2756}{13} + 1

$n={frac{2756}{13}}+1$ , que é igual a 212+1, que é novamente 213. Existem 213 números nessa sequência.

Este exemplo se parece com 100, 113, 126, 139… 2843, 2856.

Avisos

Existem diferentes tipos de sequências de números. Não assuma que um conjunto de números é uma sequência aritmética. Sempre verifique dois pares de números, de preferência três ou quatro, para encontrar o fator de diferença para o conjunto de números.