Encontrando a inversa de uma equação quadrática

As funções inversas podem ser muito úteis na resolução de muitos problemas matemáticos. Ser capaz de pegar uma função e encontrar sua função inversa é uma ferramenta poderosa. No entanto, com equações quadráticas, isso pode ser um processo bastante complicado. Primeiro você precisa definir cuidadosamente a equação, determinando um domínio e um intervalo apropriados. Você então tem uma escolha de três métodos para calcular a função inversa. A escolha do método é principalmente uma questão de preferência pessoal.

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Método 1 de 3: Encontrando a inversa de uma função simples

1. Encontre uma função na forma de $$y=umaX2+c{displaystyle y=ax^{2}+c}. Se você tiver o tipo de função `certo` para começar, poderá encontrar o inverso com alguma álgebra simples. Esta forma é uma espécie de variação $y=\mathrm{uma}{X}^{}$. Se você comparar isso com uma função quadrática padrão, $y=\mathrm{uma}{X}^{}$, veja que o meio termo $bX$ está desaparecido. Outra maneira de dizer isso é que o valor de b é zero. Se sua função tem esta forma, encontrar a inversa é bem fácil.

• Sua função inicial não precisa ser exatamente igual $y=\mathrm{uma}{X}^{}$. Contanto que você possa olhar para ele e ver que a função consiste apenas em $X^{}$ termos e números constantes, você poderá usar este método.
• Suponha que você comece com a equação $2y-6+X^{}$. Um rápido exame desta equação revela que não há termos de $X$ estar na primeira potência. Esta equação é candidata a este método para encontrar uma função inversa.

2. Simplifique combinando termos semelhantes. A equação inicial pode ter vários termos em uma combinação de adição e subtração. Seu primeiro passo é combinar termos semelhantes para simplificar a equação e reescrevê-la no formato padrão $y=\mathrm{uma}{X}^{}$.

Veja o exemplo de comparação $2y-6+X^{}$, onde os termos y podem ser movidos para a esquerda subtraindo um y de ambos os lados. Os outros termos podem ser movidos para o lado direito adicionando 6 em ambos os lados e $X^{}$ para retirar de ambos os lados. A equação resultante é $y=2X^{}$.

Veja a comparação de exemplo $y=2X^{}$. Não há limitação nos valores permitidos de x para esta equação. No entanto, você deve perceber que esta é a equação de uma parábola, com x = 0 como seu centro, e uma parábola não é uma função porque não é uma comparação um-para-um dos valores de x e y. Para limitar esta equação e torná-la uma função, para a qual podemos encontrar uma inversa, precisamos definir o domínio como x≥0.

O alcance é limitado da mesma forma. Observe que o primeiro termo, $2X^{}$, será sempre positivo ou 0, para qualquer valor de x. Então, se a equação somar +2, o intervalo será qualquer valor y≥2.

Trabalhando com a comparação de exemplo $y=2X^{}$, este passo de inversão resultará na nova equação de $X=2y^{}$.

Um formato alternativo é substituir os termos y por x, mas substituir os termos x por $y^{}$ ou $f(X{)}^{}$ para indicar a função inversa.

5. Reescreva a equação inversa em termos de y. Usando uma combinação de etapas algébricas e certificando-se de que a mesma operação seja realizada em ambos os lados da equação, você precisará isolar a variável y. Para a comparação $X=2y^{}$, esta revisão fica assim:

$X=2y^{}$ (premissa original)

$X-2=2y^{}$ (subtrair 2 de ambos os lados)

$$ (dividir ambos os lados por 2)

±$$ (raiz quadrada de ambos os lados; lembre-se de que a raiz quadrada resulta em respostas possíveis positivas e negativas)

Veja a solução da equação de exemplo ±$$. Como a função raiz quadrada não é definida para valores negativos, o termo . deve ser $$ seja sempre positivo. Portanto, os valores permitidos de x (o domínio) devem ser x≥2. Com isso como domínio, os valores resultantes de y (o intervalo) são todos os valores y≥0, se você pegar a solução positiva da raiz quadrada, ou y≤0, se você pegar a solução negativa de a raiz quadrada. Observe que para encontrar a função inversa, você originalmente definiu o domínio como x≥0. Portanto, a solução correta para a função inversa é a opção positiva.

Compare o domínio e imagem da inversa com o domínio e imagem do original. Lembre-se que para a função original, $y=2X^{}$, o domínio foi definido como todos os valores de x≥0, e o intervalo foi definido como todos os valores de y≥2. Para a função inversa, agora esses valores trocam, e o domínio são todos os valores de x≥2, e o intervalo são todos os valores de y≥0.

Como exemplo, escolha o valor x=1 para a equação original $y=2X^{}$. Isso dá o resultado y = 4.

Então você coloca o valor 4 na função inversa $$. Isso realmente dá o resultado y = 1. Você pode concluir que sua função inversa está correta.

Método 2 de 3: Completando o quadrado para encontrar a função inversa

1. Dê a equação quadrática a forma correta. Para encontrar a inversa, você tem que começar com a equação da forma $f\left(X\right)=\mathrm{uma}{X}^{}$. Se necessário, você precisa combinar termos semelhantes para obter a equação neste formato. Com a equação escrita desta forma, você pode contar um pouco mais sobre ela.

• A primeira coisa que você notará é o valor do coeficiente a. se um>0, então a equação define uma parábola cujas extremidades apontam para cima (parábola do vale). se um<0, então a equação define uma parábola cujas extremidades apontam para baixo (parábola da montanha). Observe que a≠0. Se não fosse, esta seria uma função linear e não uma quadrática.

2. Reconhecer o formato padrão da quadrática. Antes de encontrar a função inversa, você precisa reescrever a equação no formato padrão. O formato padrão para uma função quadrática é $f\left(X\right)=\mathrm{uma}(X-h{)}^{}$. Os termos numéricos a, h e k serão avaliados se você transformar a equação calculando o quadrado.

Observe que esta forma padrão consiste em um termo quadrático perfeito, $(X-h{)}^{}$, que é então modificado pelos outros dois elementos a e k. Para chegar a esta forma quadrática perfeita, você terá que criar certas condições em sua equação quadrática.

3. Pense na forma de uma função quadrática perfeita. Lembre-se de que uma função quadrática que é um quadrado perfeito surge de dois binômios de $(X+b)(X+b)$, ou $(X+b{)}^{}$. Se você fizer essa multiplicação, obterá $X^{}$. Então o primeiro termo da quadrática é o primeiro termo do binômio, quadrado, e o último termo da quadrática é o quadrado do segundo termo do binômio. O termo médio consiste em duas vezes o produto dos dois termos, neste caso $2*X*b$.

Para completar o quadrado, trabalhe no sentido inverso. Você começa com $X^{}$ e um segundo termo x. Do coeficiente desse termo, que você pode definir como `2b`, você deve obter $b^{}$ ver para encontrar. Isso requer uma combinação de dividir por dois e, em seguida, elevar ao quadrado esse resultado.

4. Certifique-se de que o coeficiente de $$X2{estilo de exibição x^{2}} 1 é. Você se lembra da forma original da função quadrática $\mathrm{uma}{X}^{}$. Se o primeiro coeficiente for diferente de 1, você precisará dividir todos os termos por esse valor para obter a = 1.

Tomemos, por exemplo, a função quadrática $f\left(X\right)=2X^{}$. Você pode simplificar isso dividindo todos os termos por 2 para obter a função resultante $f\left(X\right)=2(X^{}$ para obter. O coeficiente 2 fica fora dos colchetes e fará parte da sua solução final.

Se todos os termos não são múltiplos de a, você obtém coeficientes fracionários. Por exemplo: a função $f\left(X\right)=3X^{}$ será simplificado para $f\left(X\right)=3(X^{}$. Calcule as frações com cuidado.

5. Encontre metade do coeficiente do meio e eleve ao quadrado. Você já tem os dois primeiros termos da fórmula quadrática. Estes são o termo $X^{}$ e o coeficiente que representa o termo x. Tomando esse coeficiente como o valor que ele tem, você pode adicionar ou subtrair o número necessário para fazer um quadrado perfeito. Lembre-se de que o terceiro termo necessário do quadrado é esse segundo coeficiente dividido por dois e depois elevado ao quadrado.

Por exemplo, se os dois primeiros termos da sua função quadrática $X^{}$ você encontra o terceiro termo necessário dividindo 3 por 2 (ou 3/2), e então elevando ao quadrado, para obter 9/4. O quadrático $X^{}$ é um quadrado perfeito.

Outro exemplo: suponha que os dois primeiros termos $X^{}$ são. Metade do termo médio é -2, e então você eleva ao quadrado para obter 4. O quadrado perfeito resultante é $X^{}$.

Suponha que você tenha a função $f\left(X\right)=X^{}$. Como mencionado acima, você usa os dois primeiros termos para completar o quadrado. Usando o termo médio de -4x, você gera um terceiro termo +4. Adicione 4 e subtraia 4 da equação, na forma $f\left(X\right)=(X^{}$. Os parênteses são colocados apenas para definir a equação quadrática que você está fazendo. Observe o +4 dentro dos colchetes e o -4 do lado de fora. Simplifique os números para o resultado $f\left(X\right)=(X^{}$.

7. Fatore a equação quadrática. O polinômio entre parênteses é uma equação quadrática, que você pode reescrever como $(X+b{)}^{}$. No exemplo da etapa anterior ($f\left(X\right)=(X^{}$) você fatora o fator quadrático em $(X-2{)}^{}$. Copie o resto da equação para que sua solução $f\left(X\right)=(X-2{)}^{}$ está se tornando. Esta é a mesma função que sua equação quadrática original ($f\left(X\right)=X^{}$), reescrito como a forma padrão $f\left(X\right)=\mathrm{uma}(X-h{)}^{}$.

Continue trabalhando com a função de visualização $f\left(X\right)=(X-2{)}^{}$. Como este está no formato padrão, você pode determinar o vértice como x=2, y=5. Então para evitar a simetria, você só trabalha com o lado direito do gráfico, e define o domínio se todos os valores x≥2. Inserir o valor x=2 na função retorna y=5. Você pode ver que os valores de y aumentarão à medida que x aumenta. Portanto, o alcance desta equação é y≥5.

Continue trabalhando com a função $f\left(X\right)=(X-2{)}^{}$. Insira x no lugar de f(x), e insira y (ou f(x), se preferir) no lugar de x. Isso dá como uma nova função $X=(y-2{)}^{}$.

10. Reescreva a equação inversa em termos de y. Usando uma combinação de etapas algébricas, certificando-se de realizar a mesma operação uniformemente em ambos os lados da equação, isole a variável y. Para a comparação de trabalho $X=(y-2{)}^{}$ esta revisão fica assim:

$X=(y-2{)}^{}$ (ponto de partida original)

$X-5=(y-2{)}^{}$ (subtrair 5 de ambos os lados)

±$$ (raiz quadrada de ambos os lados; lembre-se de que a raiz quadrada produz respostas possíveis positivas e negativas)

±$$ (adicione 2 em ambos os lados)

Veja a solução da equação de exemplo ±$$. Como a função raiz quadrada não é definida para valores negativos, o termo . deve ser $$ seja sempre positivo. Portanto, os valores permitidos de x (o domínio) devem ser x≥5. Com isso como domínio, os valores resultantes de y (o intervalo) são todos os valores y≥2 (se você pegar a solução positiva da raiz quadrada), ou y≤2 (se você escolher a solução negativa da raiz quadrada). Lembre-se que você originalmente definiu o domínio como x≥2, para encontrar a função inversa. Portanto, a solução correta para a função inversa é a opção positiva.

Como exemplo, escolha o valor x=3 para incluir na equação original $f\left(X\right)=X^{}$ processar. Isso dá o resultado y = 6.

Então você processa y = 6 na função inversa $$. Isso retorna y=3, que é o número com o qual você começou. Você pode concluir que sua função inversa está correta.

Método 3 de 3: Usando a fórmula quadrada

2. Comece com uma equação quadrática para encontrar a inversa. Sua equação quadrática deve começar no formato $f\left(X\right)=\mathrm{uma}{X}^{}$. Siga os passos algébricos necessários para obter sua equação nessa forma.

Para esta seção deste artigo, você usará a equação de amostra $f\left(X\right)=X^{}$.

Com base na equação de trabalho $f\left(X\right)=X^{}$, isso dá o resultado $X=y^{}$.

Para a equação de exemplo, para obter o lado esquerdo igual a zero, você precisa subtrair x de ambos os lados da equação. Isso dá o resultado $0=y^{}$.

6. Redefina as variáveis ​​para ajustar a fórmula quadrada. Este passo é um pouco complicado. Saiba que a fórmula quadrada resolve para x, na equação $0=\mathrm{uma}{X}^{}$. Então, para a equação que você tem agora, $0=y^{}$, para estar em conformidade com essa classificação, você deve redefinir os termos da seguinte forma:

Sair $y^{}$. Então, x = 1

Sair $2y=bX$. Então, b = 2

Sair $(-3-X)=c$. Então, c=(-3-x)

$f^{}$

$f^{}$

9. Determine o domínio e a imagem da função inversa. Observe que para definir a raiz quadrada, o domínio deve ser x≥-4. Lembre-se de que o domínio da função original era x≤-1 e o intervalo era y≥-4. Para escolher a função inversa que corresponde, você precisa da segunda solução, $f^{}$ escolha como a função inversa correta.

Assumindo a função original $f\left(X\right)=X^{}$, escolha seu x=-2. Isso retorna y=-3. Agora substitua o valor de x=-3 na função inversa, $f^{}$. Isso retorna -2, que é de fato o valor com o qual você começou. Então sua definição da função inversa está correta.

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