Encontrando a derivada da raiz quadrada de x

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Se você estudou matemática na escola, deve ter aprendido a regra da potência para determinar a derivada de funções simples. No entanto, quando a função contém uma raiz quadrada ou radical, como $\sqrt{X}$ ${sqrt{x}}$ , então a regra do poder parece difícil de aplicar. Usando uma simples substituição de expoentes, determinar a derivada de tal função torna-se muito fácil. Você pode então aplicar a mesma substituição e usar a regra da cadeia para encontrar a derivada de muitas outras funções com raízes.

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Método 1 de 3: Aplicando a regra de potência

Imagem intitulada Diferenciar a raiz quadrada de X Passo 1

1. Dê outra olhada na regra de potência para derivadas. A primeira regra que você provavelmente aprendeu para encontrar derivadas é a regra da potência. Esta regra diz que para uma variável

X

$X$ à potência de um número

uma

$uma$ , é a derivada, e é calculada da seguinte forma:

$f (X) = X uma$ ${displaystyle f(x)=x^{a}}$
$f sexo (X) = uma X^{uma - 1}$ ${displaystyle f^{prime }(x)=ax^{a-1}}$
Dê uma olhada nas seguintes funções de exemplo e suas derivadas:

E se $f (X) = X 2$ ${estilo de exibição f(x)=x^{2}}$ , então $f sexo (X) = 2 X$ ${displaystyle f^{prime }(x)=2x}$
E se $f (X) = 3 X 2$ ${displaystyle f(x)=3x^{2}}$ , então $f sexo (X) = 2 * 3 X = 6 X$ ${displaystyle f^{prime }(x)=2*3x=6x}$
E se $f (X) = X 3$ ${displaystyle f(x)=x^{3}}$ , então $f sexo (X) = 3 X^{2}$ ${displaystyle f^{prime }(x)=3x^{2}}$
E se $f (X) = \frac{1}{2} X^{4}$ ${displaystyle f(x)={frac {1}{2}}x^{4}}$ , então $f sexo (X) = 4 * \frac{1}{2} X^{3} = 2 X^{3}$ ${displaystyle f^{prime }(x)=4*{frac {1}{2}}x^{3}=2x^{3}}$

Imagem intitulada Diferenciar a raiz quadrada de X Passo 2

2. Reescreva a raiz quadrada como expoente. Para encontrar a derivada de uma função de raiz quadrada, lembre-se de que a raiz quadrada de um número ou variável também pode ser escrita como um expoente. O termo sob o radical é escrito como uma base e é elevado à potência 1/2. O termo também é usado como um expoente da raiz quadrada. Observe os exemplos a seguir:

\sqrt{X} = X^{\frac{1}{2}}

${displaystyle {sqrt {x}}=x^{frac {1}{2}}}$

\sqrt{4} = 4^{\frac{1}{2}}

${displaystyle {sqrt {4}}=4^{frac {1}{2}}}$

\sqrt{3 X} = (3 X)^{\frac{1}{2}}

${displaystyle {sqrt {3x}}=(3x)^{frac {1}{2}}}$

Imagem intitulada Diferenciar a raiz quadrada de X Passo 3

3. Aplicar a regra do poder. Se a função é a raiz quadrada mais simples,

f (X) = \sqrt{X}

${displaystyle f(x)={sqrt {x}}}$ , então aplique a regra da potência da seguinte forma para encontrar a derivada:

f (X) = \sqrt{X}

${displaystyle f(x)={sqrt {x}} }$ (Escreva a função original.)

f (X) = X (\frac{1}{2})

${displaystyle f(x)=x^{({frac {1}{2}})} }$ (Reescreva a raiz como um expoente.)

f sexo (X) = \frac{1}{2} X^{(\frac{1}{2} - 1)}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {1}{2}}x^{({frac {1}{2}}-1)} }$ (Encontre a derivada usando a regra da potência.)

f sexo (X) = \frac{1}{2} X^{(- \frac{1}{2})}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {1}{2}}x^{(-{frac {1}{2}})} }$ (Simplifique o expoente.)

Imagem intitulada Diferenciar a raiz quadrada de X Passo 4

4. Simplifique o resultado. Nesta fase, você deve saber que um expoente negativo significa que você toma o inverso do que seria o número com o expoente positivo. O expoente de

- \frac{1}{2}

${displaystyle -{frac {1}{2}}}$ significa que a raiz quadrada da base se torna o denominador de uma fração.

Continuando com a raiz quadrada da função x de cima, a derivada pode ser simplificada da seguinte forma:

f sexo (X) = \frac{1}{2} X^{- \frac{1}{2}}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {1}{2}}x^{-{frac {1}{2}}}}$

f sexo (X) = \frac{1}{2} * \frac{1}{\sqrt{X}}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {1}{2}}*{frac {1}{sqrt {x}}}}$

f sexo (X) = 12 \sqrt{X}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {1}{2{sqrt {x}}}}}$

Método 2 de 3: Aplicando a regra da cadeia para funções de raiz quadrada

Imagem intitulada Diferenciar a raiz quadrada de X Passo 5

1. Revisar a regra da cadeia para funções. A regra da cadeia é uma regra para derivadas que você usa quando a função original combina uma função dentro de outra função. A regra da cadeia diz que, para duas funções

f (X)

$f(x)$ e

g (X)

${estilo de exibição g(x)}$ , a derivada da combinação das duas funções pode ser encontrada da seguinte forma:

E se $y = f (g (X))$ ${estilo de exibição y=f(g(x))}$ , então $y sexo = f^{sexo} (g) * g^{sexo} (X)$ ${displaystyle y^{prime }=f^{prime }(g)*g^{prime }(x)}$ .

Imagem intitulada Diferenciar a raiz quadrada de X Passo 6

2. Defina as funções da regra da cadeia. O uso da regra da cadeia exige que você primeiro defina as duas funções que compõem sua função combinada. Para funções de raiz quadrada, a função mais externa é

f (g)

${estilo de exibição f(g)}$ a função raiz quadrada e a função mais interna

g (X)

${estilo de exibição g(x)}$ a função sob o radical.

Por exemplo: suponha que você tenha a derivada de

\sqrt{3 X + 2}

${estilo de exibição {sqrt {3x+2}}}$ quero encontrar. Em seguida, defina as duas partes da seguinte forma:

f (g) = \sqrt{g} = g^{\frac{1}{2}}

${displaystyle f(g)={sqrt {g}}=g^{frac {1}{2}}}$

g (X) = (3 X + 2)

${estilo de exibição g(x)=(3x+2)}$

Imagem intitulada Diferenciar a raiz quadrada do X Passo 7

3. Encontre as derivadas das duas funções. Para aplicar a regra da cadeia à raiz quadrada de uma função, você deve primeiro encontrar a derivada da função raiz quadrada geral:

f (g) = \sqrt{g} = g^{\frac{1}{2}}

${displaystyle f(g)={sqrt {g}}=g^{frac {1}{2}}}$

f sexo (g) = \frac{1}{2} g^{- \frac{1}{2}}

${displaystyle f^{prime }(g)={frac {1}{2}}g^{-{frac {1}{2}}}}$

f sexo (g) = 12 \sqrt{g}

${displaystyle f^{prime }(g)={frac {1}{2{sqrt {g}}}}}$

Em seguida, determine a derivada da segunda função:

g (X) = (3 X + 2)

${estilo de exibição g(x)=(3x+2)}$

g sexo (X) = 3

${displaystyle g^{prime }(x)=3}$

Imagem intitulada Diferenciar a raiz quadrada do X Passo 8

4. Combine as funções na regra da cadeia. A regra da cadeia é

y sexo = f^{sexo} (g) * g^{sexo} (X)

${displaystyle y^{prime }=f^{prime }(g)*g^{prime }(x)}$ . Combine as derivadas da seguinte forma:

y sexo = 12 \sqrt{g} * 3

${displaystyle y^{prime }={frac {1}{2{sqrt {g}}}}*3}$

y sexo = 12 \sqrt{(3 X + 2} * 3

${displaystyle y^{prime }={frac {1}{2{sqrt {(3x+2}}}}*3}$

y sexo = 32 \sqrt{(3 X + 2}

${displaystyle y^{prime }={frac {3}{2{sqrt {(3x+2}}}}}$

Método 3 de 3: Encontrando as derivadas das funções de raiz rapidamente

Imagem intitulada Diferenciar a raiz quadrada do X Passo 9

1. Determinar derivadas de uma função de raiz quadrada usando um método rápido. Quando você deseja encontrar a derivada da raiz quadrada de uma variável ou função, pode aplicar uma regra simples: a derivada sempre será a derivada do número sob o radical, dividido pelo dobro da raiz quadrada original. Simbolicamente, isso pode ser representado como:

E se $f (X) = \sqrt{vocês}$ ${displaystyle f(x)={sqrt {u}}}$ , então $f sexo (X) = vocês sexo 2 \sqrt{vocês}$ ${displaystyle f^{prime }(x)={frac {u^{prime }}{2{sqrt {u}}}}}$

Imagem intitulada Diferenciar a raiz quadrada do X Passo 10

2. Encontre a derivada do número sob o radical. Este é um número ou função sob o sinal da raiz quadrada. Para usar este método rápido, basta encontrar a derivada do número sob o radical. Confira os exemplos a seguir:

Na função

\sqrt{5 X + 2}

${displaystyle {sqrt {5x+2}}}$ , é o número raiz

(5 X + 2)

${estilo de exibição (5x+2)}$ . A derivada é

5

$5$ .

Na função

\sqrt{3 X} 4

${displaystyle {sqrt {3x^{4}}}}$ , é o número raiz

3 X 4

${displaystyle 3x^{4}}$ . A derivada é

12 X 3

${displaystyle 12x^{3}}$ .

Na função

\sqrt{s eu n (X)}

${displaystyle {sqrt {sin(x)}}}$ , é o número raiz

pecado (X)

${ estilo de exibição sin(x)}$ . A derivada é

porque (X)

${estilo de exibição cos(x)}$ .

Imagem intitulada Diferenciar a raiz quadrada do X Passo 11

3. Escreva a derivada do número raiz como o numerador de uma fração. A derivada de uma função de raiz quadrada conterá uma fração. O numerador desta fração é a derivada do número raiz. Então, nas funções de exemplo acima, a primeira parte da derivada ficará assim:

E se

f (X) = \sqrt{5 X + 2}

${displaystyle f(x)={sqrt {5x+2}}}$ , então

f sexo (X) = \frac{5}{denominador}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {5}{text{denominador}}}}$

E se

f (X) = \sqrt{3 X} 4

${displaystyle f(x)={sqrt {3x^{4}}}}$ , então

f sexo (X) = 12 X 3 denominador

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {12x^{3}}{text{denominador}}}}$

E se

f (X) = \sqrt{pecado (X)}

${displaystyle f(x)={sqrt {sin(x)}}}$ , então

f sexo (X) = porque (X) denominador

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {cos(x)}{text{denominador}}}}$

Imagem intitulada Diferenciar a raiz quadrada do X Passo 12

4. Escreva o denominador como o dobro da raiz quadrada original. Com este método rápido, o denominador é duas vezes a função raiz quadrada original. Assim, nas três funções de exemplo acima, os denominadores das derivadas são:

E se

f (X) = \sqrt{5 X + 2}

${displaystyle f(x)={sqrt {5x+2}}}$ , então

f sexo (X) = balcão 2 \sqrt{5 X + 2}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {text{contador}}{2{sqrt {5x+2}}}}}$

E se

f (X) = \sqrt{3 X} 4

${displaystyle f(x)={sqrt {3x^{4}}}}$ , então

f sexo (X) = balcão 2 \sqrt{3 X} 4

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {text{counter}}{2{sqrt {3x^{4}}}}}}}}$

E se

f (X) = \sqrt{pecado (X)}

${displaystyle f(x)={sqrt {sin(x)}}}$ , então

f sexo (X) = balcão 2 \sqrt{pecado (X)}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {text{contador}}{2{sqrt {sin(x)}}}}}$

Imagem intitulada Diferenciar a raiz quadrada do X Passo 13

5. Combine o numerador e o denominador para encontrar a derivada. Junte as duas metades da fração e o resultado será a derivada da função original.

E se