Verificando o princípio da incerteza para um oscilador harmônico quântico

O oscilador harmônico quântico é a analogia quântica do oscilador harmônico simples clássico. Usando a solução do estado fundamental, tomamos a posição e os valores de impulso esperados e verificamos o princípio da incerteza com ela.

Degraus

Parte 1 de 3: Uma solução de estado fundamental

1. Lembre-se da equação de Schrödinger. Esta equação diferencial parcial é a equação fundamental do movimento dentro da mecânica quântica, descrevendo como um estado quântico ψ{estilo de exibição psi}psi evolui com o tempo. ^{displaystyle {hat {H}}}{Tem}} denota o Hamiltoniano, o operador de energia que descreve a energia total de um sistema.
  • euψt=^ψ{displaystyle ihbar {frac {partial psi }{partial t}}={hat {H}}psi }ihbar {frac{parcial psi }{parcial t}}={hat{H}}psi
2. Escreva o Hamiltoniano para o oscilador harmônico. Embora as variáveis ​​de posição e momento tenham sido substituídas por seus operadores correspondentes, a expressão ainda se assemelha à da energia cinética e potencial de um oscilador harmônico clássico. Como estamos trabalhando em espaço físico, a posição do operador é dada por X^=X,{displaystyle {hat {x}}=x,}{hat{x}}=x, enquanto o operador impulso é dado por p^=-euX.{displaystyle {hat {p}}=-ihbar {frac {partial }{partial x}}.}{hat{p}}=-ihbar {frac{parcial }{parcial x}}
  • ^=p^22m+12mΩ2X^2{displaystyle {hat {H}}={frac {{hat {p}}^{2}}{2m}}+{frac {1}{2}}momega ^{2}{ hat {x}}^{2}}{hat{H}}={frac{{hat{p}}^{{2}}}{2m}}+{frac{1}{2}}momega ^{{2}} {hat{x}}^{{2}}
  • 3. Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo. Vemos que o Hamiltoniano não depende explicitamente do tempo, então as soluções da equação serão estados imutáveis. A equação de Schrödinger independente do tempo é uma equação do autovalor, então resolvê-la significa que encontramos os autovalores de energia e suas autofunções correspondentes - as funções de onda -.
  • -22md2ψdX2+12mΩ2X2ψ=Eψ{displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {mathrm {d} ^{2}psi }{mathrm {d} x^{2}}}+{ frac {1}{2}}momega ^{2}x^{2}psi =Epsi }-{frac{hbar ^{{2}}}{2m}}{frac{{mathrm{d}}^{{2}}psi }{{mathrm{d}}x^{{ 2}}}}+{frac{1}{2}}momega ^{{2}}x^{{2}}psi =Epsi
  • 4. Resolva a equação diferencial. Esta equação diferencial tem coeficientes variáveis ​​e não pode ser facilmente resolvida com métodos simples. No entanto, após a normalização, a solução do estado fundamental pode ser escrita como:. Lembre-se que esta solução descreve apenas um oscilador unidimensional.
  • ψ(X)=(mΩπ)1/4exp(-mΩ2X2){displaystyle psi (x)=left({frac {momega }{pi hbar }}right)^{1/4}exp left(-{frac {momega } {2hbar }}x^{2}right)}psi (x)=left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/4}}exp left(-{frac{momega }{ 2hbar }}x^{{2}}right)
  • Este é um gaussiano, centrado em X=0.{estilo de exibição x=0.}x=0 Aproveitamos o fato de que esta função é mesmo para simplificar nossos cálculos na próxima parte.
  • Parte 2 de 3: Valores Esperados

    1. Lembre-se da fórmula da incerteza. A incerteza de um valor observável, como uma posição, é matematicamente igual ao desvio padrão. Ou seja, determinamos o valor médio, subtraímos cada valor da média, elevamos esses valores ao quadrado e calculamos a média, e depois subtraímos a raiz quadrada do resultado.
    • ΣX=sexoX2sexo-sexoXsexo2{displaystyle sigma _{x}={sqrt {langle x^{2}rangle -langle xrangle ^{2}}}}sigma _{{x}}={sqrt{langle x^{{2}}rangle -langle xrangle ^{{2}}}}
    2. Determinar sexoXsexo{displaystyle langle xrangle }langle xrangle. Como a função é par, podemos deduzir da simetria que sexoXsexo=0.{estilo de exibição langle xrangle =0.}lang xrangle =0
  • Se você escrever a integral que teve que calcular, verá que o integrando é uma função ímpar, porque uma função ímpar vezes uma função par é ímpar.
  • sexoXsexo=-X|ψ(X)|2dX{displaystyle langle xrangle =int _{-infty }^{infty }x|psi (x)|^{2}mathrm {d} x}langle xrangle =int _{{-infty }}^{{infty }}x|psi (x)|^{{2}}{mathrm{d}}x
  • Uma propriedade de uma função ímpar é que para cada valor positivo da função, há um doppelganger - um valor negativo associado - que cancela a função. Como temos todos os valores de X{estilo de exibição x}X avaliar, sabemos que a integral se torna 0, sem ter que fazer os cálculos.
  • 3. calcular sexoX2sexo{displaystyle langle x^{2}rangle }langle x^{{2}}rangle. Como nossa solução é escrita como uma função de onda contínua, usamos a integral abaixo. A integral descreve o valor esperado para X2{estilo de exibição x^{2}}x^{{2}}, integrado em todo o espaço.
  • sexoX2sexo=-X2|ψ(X)|2dX{displaystyle langle x^{2}rangle =int _{-infty }^{infty }x^{2}|psi (x)|^{2}mathrm {d} x}langle x^{{2}}rangle =int _{{-infty }}^{{infty }}x^{{2}}|psi (x)|^{{2}}{ mathrm{d}}x
  • 4. Substitua a função de onda na integral e simplifique. Sabemos que a função de onda é par. O quadrado de uma função par também é par, então podemos pegar um fator de 2 fora dos parênteses e diminuir o limite inferior para 0.
  • sexoX2sexo=2(mΩπ)1/20X2exp(-mΩX2)dX{displaystyle langle x^{2}rangle =2left({frac {momega }{pi hbar }}right)^{1/2}int _{0}^{ infty }x^{2}exp left(-{frac {momega }{hbar }}x^{2}right)mathrm {d} x}langle x^{{2}}rangle =2left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/2}}int _{{0}} ^{{infty }}x^{{2}}exp left(-{frac{momega }{hbar }}x^{{2}}right){mathrm{d}} X
  • 5. Avalie. Seja o primeiro a α=mΩ.{displaystyle alpha ={frac {momega }{hbar }}.}alpha ={frac{momega }{hbar }} Então não integramos por parte, mas usamos a função gama.
  • sexoX2sexo=2(mΩπ)1/20X2e-αX2dX, vocês=αX2=2(mΩπ)1/20vocêsαe-vocêsdvocês12αX, X=vocêsα=(mΩπ)1/2α-3/20vocês1/2e-vocêsdvocês=(mΩπ)1/2(mΩ)-3/2Γ(32), Γ(32)=π2=mΩ1ππ2=2mΩ{displaystyle {begin{alinhado}langle x^{2}rangle &=2left({frac {momega }{pi hbar }}right)^{1/2}int _{0}^{infty }x^{2}e^{- alfa x^{2}}mathrm {d} x, u=alpha x^{2}\&=2left({frac {momega }{pi hbar }}right)^{1/2}int _{0}^{infty }{frac {u}{alpha } }e^{-u}mathrm {d} u{frac {1}{2alpha x}}, x={sqrt {frac {u}{alpha }}}\&=left({frac {momega }{pi hbar }}right)^{1/2}alpha ^{-3/2}int _{0}^{infty }u^ {1/2}e^{-u}mathrm {d} u\&=left({frac {momega }{pi hbar }}right)^{1/2}left({frac {momega }{hbar }}right)^{- 3/2}Gamma left({frac {3}{2}}right), Gamma left({frac {3}{2}}right)={frac {sqrt {pi }}{2}}\&={frac {hbar }{momega }}{frac {1}{sqrt {pi }}}{frac {sqrt {pi }}{2}}\&={frac {hbar }{2momega }}end{alinhado}}}{begin{alinhado}langle x^{{2}}rangle &=2left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/2}} int _{{0}}^{{infty }}x^{{2}}e^{{-alpha x^{{2}}}}{mathrm{d}}x, u =alpha x^{{2}}\&=2left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/2}}int _{{ 0}}^{{infty }}{frac{u}{alpha }}e^{{-u}}{mathrm{d}}u{frac{1}{2alpha x}} ,  x={sqrt{{frac{u}{alpha }}}}\&=left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{ {1/2}}alpha ^{{-3/2}}int _{{0}}^{{infty }}u^{{1/2}}e^{{-u}}{ mathrm{d}}u\&=left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/2}}left({frac{m omega }{hbar }}right)^{{-3/2}}Gamma left({frac{3}{2}}right),  Gamma left({frac{3 }{2}}right)={frac{{sqrt{pi }}}{2}}\&={frac{hbar }{momega }}{frac{1} {{sqrt{pi }}}}{frac{{sqrt{pi }}}{2}}\&={frac{hbar }{2momega }}end{alinhado }}
  • 6. Chegue à incerteza na posição. Usando a relação que desenvolvemos na Etapa 1 desta seção, segue ΣX{displaystyle sigma _{x}}sigma _{{x}} imediatamente de nossos resultados.
  • ΣX=2mΩ{displaystyle sigma _{x}={sqrt {frac {hbar }{2momega }}}}sigma _{{x}}={sqrt{{frac{hbar }{2momega }}}}
  • 7. Determinar sexopsexo{displaystyle langle prangle }long prangle. Tal como acontece com a posição média, um argumento de simetria pode ser feito, levando a sexopsexo=0.{displaystyle langle prangle =0.}langprangle =0.
    8. calcular sexop2sexo{displaystyle langle p^{2}rangle }langle p^{{2}}rangle. Em vez de aplicar diretamente a função de onda para calcular esse valor esperado, podemos usar a energia da função de onda para simplificar os cálculos necessários. A energia do estado fundamental do oscilador harmônico é dada abaixo.
  • E0=12Ω{displaystyle E_{0}={frac {1}{2}}hbar omega }E_{{0}}={frac{1}{2}}hbar omega
    9. Relacione a energia do estado fundamental com a energia cinética e potencial da partícula. Espera-se que essa relação seja válida não apenas para cada posição e impulso, mas também para seus valores esperados.
  • 12Ω=sexop2sexo2m+12mΩ2sexoX2sexo{displaystyle {frac {1}{2}}hbar omega ={frac {langle p^{2}rangle }{2m}}+{frac {1}{2}}momega ^{2}lang x^{2}rangle }{frac{1}{2}}hbar omega ={frac{langle p^{{2}}rangle }{2m}}+{frac{1}{2}}momega ^ {{2}}langle x^{{2}}rangle
    10. Resolva para sexop2sexo{displaystyle langle p^{2}rangle }langle p^{{2}}rangle.
  • mΩ=sexop2sexo+m2Ω22mΩ{displaystyle mhbar omega =langle p^{2}rangle +m^{2}omega ^{2}{frac {hbar }{2momega }}}mhbar omega =langle p^{{2}}rangle +m^{{2}}omega ^{{2}}{frac{hbar }{2momega }}
  • sexop2sexo=mΩ2{displaystyle langle p^{2}rangle ={frac {mhbar omega }{2}}}langle p^{{2}}rangle ={frac{mhbar omega }{2}}
    11. Chegue à incerteza na dinâmica.
  • Σp=mΩ2{displaystyle sigma _{p}={sqrt {frac {mhbar omega }{2}}}}sigma _{{p}}={sqrt{{frac{mhbar omega }{2}}}}
  • Parte 3 de 3: Verificando a relação de incerteza

    1. Considere o princípio da incerteza de Heisenberg para posição e momento. A relação de incerteza é um limite fundamental para a precisão com que podemos medir certos pares de dados observáveis, como posição e momento. Confira as dicas para obter mais informações sobre o princípio da incerteza.
    • ΣXΣp2{displaystyle sigma _{x}sigma _{p}geq {frac {hbar }{2}}}sigma _{{x}}sigma _{{p}}geq {frac{hbar }{2}}
    2. Substitua as incertezas do oscilador harmônico quântico.
  • 2mΩmΩ2222{displaystyle {begin{alinhado}{sqrt {frac {hbar }{2momega }}}{sqrt {frac {mhbar omega }{2}}}&geq {frac {hbar }{2}}\{frac {hbar }{2}}&geq {frac {hbar }{2}}end{alinhado}}}{begin{alinhado}{sqrt{{frac{hbar }{2momega }}}}{sqrt{{frac{mhbar omega }{2}}}}&geq { frac{hbar }{2}}\{frac{hbar }{2}}&geq {frac{hbar }{2}}end{alinhado}}
  • Nossos resultados estão de acordo com o princípio da incerteza. Na verdade, essa relação apenas atinge a igualdade do estado fundamental – assumindo um estado de energia mais alto, a incerteza da posição e do momento só aumenta.
  • Pontas

    • Existem duas maneiras pelas quais podemos explicar a questão de por que a relação de incerteza existe.
    • Da mecânica ondulatória, as expressões da função de onda em termos de posição e dinâmica, são transformadas de Fourier uma da outra. Uma propriedade da transformada de Fourier é que uma função e sua transformada de Fourier não são localizadas inequivocamente.
    • Um exemplo simples é a transformada de Fourier da função retangular. À medida que a largura da função diminui (se torna mais localizada), a transformada de Fourier (uma curva senoidal) fica cada vez mais plana. Um exemplo extremo é a função delta de Dirac, onde a largura é infinitesimal (localidade perfeita). A transformada de Fourier é uma constante (incerteza infinita).
    • A outra maneira de olhar para isso é da mecânica matricial. Os operadores de posição e momento têm uma relação de comutação diferente de zero. Se dois operadores comutarem, então sua relação de comutação seria zero, conforme indicado pelos parênteses abaixo.
    • [X^,p^]=X^p^-p^X^=eu{displaystyle [{hat {x}},{hat {p}}]={hat {x}}{hat {p}}-{hat {p}}{hat {x}} =ihbar }[{hat{x}},{hat{p}}]={hat{x}}{hat{p}}-{hat{p}}{hat{x}}=i hbar
  • Acontece que esta relação de comutação deve implicar um princípio fundamental de incerteza. Quando um operador X^{displaystyle {hat {x}}}{hat{x}} atua em um estado, então a função de onda colapsa para o autoestado de X^{displaystyle {hat {x}}}{hat{x}} com uma medida única (o autovalor). No entanto, o autoestado de X^{displaystyle {hat {x}}}{hat{x}} não precisa ser um autoestado de outro operador p^.{displaystyle {hat {p}}.}{hat{p}} Se for esse o caso, então não há medida única para os dados observáveis p,{displaystyle p,}p, significando que o estado só pode ser escrito como uma combinação linear de autoestados baseados em momento. (Quando dois operadores comutam, eles têm um conjunto simultâneo de autoestados em comum (também chamado de degeneração) e os dois dados observáveis ​​podem ser medidos simultaneamente com uma precisão arbitrária. Este é sempre o caso da mecânica clássica.)
  • Esta é a fonte do princípio da incerteza. Não é devido às limitações de nossos instrumentos que não podemos medir a posição e o momento de uma partícula com precisão arbitrária. Pelo contrário, é uma propriedade fundamental das próprias partículas.

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