


Este é um gaussiano, centrado em
Aproveitamos o fato de que esta função é mesmo para simplificar nossos cálculos na próxima parte. Se você escrever a integral que teve que calcular, verá que o integrando é uma função ímpar, porque uma função ímpar vezes uma função par é ímpar. 
Uma propriedade de uma função ímpar é que para cada valor positivo da função, há um doppelganger - um valor negativo associado - que cancela a função. Como temos todos os valores de
avaliar, sabemos que a integral se torna 0, sem ter que fazer os cálculos. 









Nossos resultados estão de acordo com o princípio da incerteza. Na verdade, essa relação apenas atinge a igualdade do estado fundamental – assumindo um estado de energia mais alto, a incerteza da posição e do momento só aumenta. Acontece que esta relação de comutação deve implicar um princípio fundamental de incerteza. Quando um operador
atua em um estado, então a função de onda colapsa para o autoestado de
com uma medida única (o autovalor). No entanto, o autoestado de
não precisa ser um autoestado de outro operador
Se for esse o caso, então não há medida única para os dados observáveis
significando que o estado só pode ser escrito como uma combinação linear de autoestados baseados em momento. (Quando dois operadores comutam, eles têm um conjunto simultâneo de autoestados em comum (também chamado de degeneração) e os dois dados observáveis podem ser medidos simultaneamente com uma precisão arbitrária. Este é sempre o caso da mecânica clássica.) Esta é a fonte do princípio da incerteza. Não é devido às limitações de nossos instrumentos que não podemos medir a posição e o momento de uma partícula com precisão arbitrária. Pelo contrário, é uma propriedade fundamental das próprias partículas.
Verificando o princípio da incerteza para um oscilador harmônico quântico
Contente
O oscilador harmônico quântico é a analogia quântica do oscilador harmônico simples clássico. Usando a solução do estado fundamental, tomamos a posição e os valores de impulso esperados e verificamos o princípio da incerteza com ela.
Degraus
Parte 1 de 3: Uma solução de estado fundamental
1. Lembre-se da equação de Schrödinger. Esta equação diferencial parcial é a equação fundamental do movimento dentro da mecânica quântica, descrevendo como um estado quântico
evolui com o tempo.
denota o Hamiltoniano, o operador de energia que descreve a energia total de um sistema.
2. Escreva o Hamiltoniano para o oscilador harmônico. Embora as variáveis de posição e momento tenham sido substituídas por seus operadores correspondentes, a expressão ainda se assemelha à da energia cinética e potencial de um oscilador harmônico clássico. Como estamos trabalhando em espaço físico, a posição do operador é dada por
enquanto o operador impulso é dado por 
3. Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo. Vemos que o Hamiltoniano não depende explicitamente do tempo, então as soluções da equação serão estados imutáveis. A equação de Schrödinger independente do tempo é uma equação do autovalor, então resolvê-la significa que encontramos os autovalores de energia e suas autofunções correspondentes - as funções de onda -.
4. Resolva a equação diferencial. Esta equação diferencial tem coeficientes variáveis e não pode ser facilmente resolvida com métodos simples. No entanto, após a normalização, a solução do estado fundamental pode ser escrita como:. Lembre-se que esta solução descreve apenas um oscilador unidimensional.
Parte 2 de 3: Valores Esperados
1. Lembre-se da fórmula da incerteza. A incerteza de um valor observável, como uma posição, é matematicamente igual ao desvio padrão. Ou seja, determinamos o valor médio, subtraímos cada valor da média, elevamos esses valores ao quadrado e calculamos a média, e depois subtraímos a raiz quadrada do resultado.
2. Determinar sexo X sexo {displaystyle langle xrangle }
. Como a função é par, podemos deduzir da simetria que 
3. calcular sexo X 2 sexo {displaystyle langle x^{2}rangle }
. Como nossa solução é escrita como uma função de onda contínua, usamos a integral abaixo. A integral descreve o valor esperado para
, integrado em todo o espaço.
4. Substitua a função de onda na integral e simplifique. Sabemos que a função de onda é par. O quadrado de uma função par também é par, então podemos pegar um fator de 2 fora dos parênteses e diminuir o limite inferior para 0.
5. Avalie. Seja o primeiro a
Então não integramos por parte, mas usamos a função gama.
6. Chegue à incerteza na posição. Usando a relação que desenvolvemos na Etapa 1 desta seção, segue
imediatamente de nossos resultados.
7. Determinar sexo p sexo {displaystyle langle prangle }
. Tal como acontece com a posição média, um argumento de simetria pode ser feito, levando a
.
8. calcular sexo p 2 sexo {displaystyle langle p^{2}rangle }
. Em vez de aplicar diretamente a função de onda para calcular esse valor esperado, podemos usar a energia da função de onda para simplificar os cálculos necessários. A energia do estado fundamental do oscilador harmônico é dada abaixo.
9. Relacione a energia do estado fundamental com a energia cinética e potencial da partícula. Espera-se que essa relação seja válida não apenas para cada posição e impulso, mas também para seus valores esperados.
10. Resolva para sexo p 2 sexo {displaystyle langle p^{2}rangle }
.
11. Chegue à incerteza na dinâmica.
Parte 3 de 3: Verificando a relação de incerteza
1. Considere o princípio da incerteza de Heisenberg para posição e momento. A relação de incerteza é um limite fundamental para a precisão com que podemos medir certos pares de dados observáveis, como posição e momento. Confira as dicas para obter mais informações sobre o princípio da incerteza.
2. Substitua as incertezas do oscilador harmônico quântico.
Pontas
- Existem duas maneiras pelas quais podemos explicar a questão de por que a relação de incerteza existe.
- Da mecânica ondulatória, as expressões da função de onda em termos de posição e dinâmica, são transformadas de Fourier uma da outra. Uma propriedade da transformada de Fourier é que uma função e sua transformada de Fourier não são localizadas inequivocamente.
- Um exemplo simples é a transformada de Fourier da função retangular. À medida que a largura da função diminui (se torna mais localizada), a transformada de Fourier (uma curva senoidal) fica cada vez mais plana. Um exemplo extremo é a função delta de Dirac, onde a largura é infinitesimal (localidade perfeita). A transformada de Fourier é uma constante (incerteza infinita).
- A outra maneira de olhar para isso é da mecânica matricial. Os operadores de posição e momento têm uma relação de comutação diferente de zero. Se dois operadores comutarem, então sua relação de comutação seria zero, conforme indicado pelos parênteses abaixo.
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