Aprenda a dividir quadrados: 8 passos

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Degraus
Pontas

Uma das habilidades mais importantes para estudantes de matemática é a fórmula abc, ou $X = - b \pm \sqrt{b} 2 - 4 uma c 2 uma .$ $x={frac{-bpm {sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$ Usando a fórmula abc, resolvendo uma equação quadrática da forma $uma X 2 + b X + c = 0$ $ax^{{2}}+bx+c=0$ uma simples questão de substituir os coeficientes $uma, b, c$ $abc$ na fórmula. Embora o simples conhecimento da fórmula seja suficiente para muitos, é para entender como é derivado (em outras palavras, de onde vem) algo completamente diferente. A fórmula é derivada através de `esquadrinhar` que também tem outras aplicações dentro da matemática, então é bom que você esteja familiarizado com ele.

Degraus

1. Comece com a forma padrão de uma equação quadrática geral. Embora qualquer comparação com um termo como

X 2

$x^{{2}}$ in, é quadrático, a forma padrão define tudo para zero. Lembre-se disso

uma, b, c

$abc$ são coeficientes que podem ser qualquer número inteiro, então agora você não pode preencher números para as variáveis - queremos trabalhar com a forma geral.

$uma X 2 + b X + c = 0$ $ax^{{2}}+bx+c=0$
A única condição é que $uma \neq 0$ $aneq 0$ , caso contrário, a equação é simplificada para uma equação linear. Veja se você pode encontrar soluções gerais para casos especiais onde $b = 0$ $b=0$ e $c = 0$ $c=0$ .

2. puxar c{estilo de exibição c} $c$ fora de ambos os lados. Nosso objetivo é isolar

X

$X$ . Começamos movendo um dos coeficientes para o outro lado, de modo que o lado esquerdo consista apenas em termos com

X

$X$ .

uma X 2 + b X = - c

$ax^{{2}}+bx=-c$

3. Divida os dois lados uma{ estilo de exibição a} $uma$ . Observe que poderíamos ter trocado isso na etapa anterior e ainda obter a mesma resposta. Lembre-se de que dividir um polinômio por algo envolve dividir cada um de seus termos individuais. Isso facilita a divisão do quadrado.

X 2 + \frac{b}{uma} X = - c uma

$x^{{2}}+{frac{b}{a}}x={frac{-c}{a}}$

4.Divida o quadrado. Lembre-se que o objetivo é criar uma expressão

X 2 + 2 ◻ X + ◻^{2}

$x^{{2}}+2Caixa x+Caixa ^{{2}}$ reescrever como

(X + ◻) 2,

$(x+Box )^{{2}},$ através do qual

◻

$Caixa$ é um coeficiente. Isso pode não ser imediatamente claro para você. Para ficar mais claro, reescreva

\frac{b}{uma} X

${frac{b}{a}}x$ E se

2 b 2 uma X

$2{frac{b}{2a}}x$ multiplicando o termo por

\frac{2}{2} .

${frac{2}{2}}$ Podemos fazer isso porque multiplicar por 1 não muda nada. Agora podemos ver claramente em nosso caso que

◻ = b 2 uma,

$Caixa ={frac{b}{2a}},$ , então só falta o termo

◻ 2

$Caixa ^{{2}}$ . Assim, para dividir o quadrado, adicionamos em ambos os lados - ou seja,,

(b 2 uma) 2 = b 2 4 uma 2 .

$left({frac{b}{2a}}right)^{{2}}={frac{b^{{2}}}{4a^{{2}}}}$ E então é claro que podemos fatorar.

\begin{matrix} X \end{matrix} 2 + 2 b 2 uma X + b 2 4 uma 2 = b 2 4 uma 2 - \frac{c}{uma} (^{X + b 2 uma) 2} & = b 2 4 uma 2 - \frac{c}{uma}

${begin{aligned}x^{{2}}+2{frac{b}{2a}}x+{frac{b^{{2}}}{4a^{{2}}}}& ={frac{b^{{2}}}{4a^{{2}}}}-{frac{c}{a}}\left(x+{frac{b}{2a}} right)^{{2}}&={frac{b^{{2}}}{4a^{{2}}}}-{frac{c}{a}}end{aligned} }$

Fica claro aqui porque

uma \neq 0

$aneq 0$ , Porque

uma

$uma$ está no denominador e você não pode dividir por zero.

Se precisar, você pode estender o lado esquerdo para garantir que a esquadria funcione.

5. Escreva o lado direito sob um denominador comum. Queremos que ambos os denominadores sejam

4 uma 2

$4a^{{2}}$ são, então multiplique o termo

- c uma

${frac{-c}{a}}$ de

4 uma 4 uma

${frac{4a}{4a}}$ .

\begin{matrix}  \end{matrix} (X + b 2 uma) 2 = b 2 4 uma 2 - 4 uma c 4 uma 2 = b 2 - 4 uma c 4 uma 2

${begin{aligned}left(x+{frac{b}{2a}}right)^{{2}}&={frac{b^{{2}}}{4a^{{2 }}}}-{frac{4ac}{4a^{{2}}}}\&={frac{b^{{2}}-4ac}{4a^{{2}}}} end{alinhado}}$

6. Calcule a raiz quadrada de ambos os lados. No entanto, é essencial que você entenda que, ao fazer isso, você está essencialmente dando dois passos. Quando você tira a raiz quadrada de

d 2

$d^{{2}}$ , então você consegue

d

$d$ não. Você basicamente obtém o valor absoluto disso,

| d |

$|d|$ . Este valor absoluto é essencial para obter ambas as raízes - simplesmente colocar raízes quadradas acima de ambos os lados produzirá apenas uma das raízes.

| X + b 2 uma | = \sqrt{} b 2 - 4 uma c 4 uma 2

$left|x+{frac{b}{2a}}right|={sqrt{{frac{b^{{2}}-4ac}{4a^{{2}}}}}}}}$

Agora podemos nos livrar dos sinais de valor absoluto, por

\pm

$PM$ colocar à direita. Podemos fazer isso porque o valor absoluto não distingue entre números positivos e negativos, então ambos são válidos. Este detalhe é porque a equação quadrática torna possível obter duas raízes como resultado.

X + b 2 uma = \pm \sqrt{} b 2 - 4 uma c 4 uma 2

$x+{frac{b}{2a}}=pm {sqrt{{frac{b^{{2}}-4ac}{4a^{{2}}}}}}}$

Vamos simplificar um pouco mais essa expressão. Como a raiz quadrada de um quociente é o quociente das raízes quadradas, podemos escrever o lado direito como

\pm \sqrt{b} 2 - 4 uma c \sqrt{4 {uma}^{2}} .

${frac{pm {sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{{sqrt{4a^{{2}}}}}}}$ Então podemos tirar a raiz quadrada do denominador.

X + b 2 uma = \pm \sqrt{b} 2 - 4 uma c 2 uma

$x+{frac{b}{2a}}={frac{pm {sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$

7. isolar X{estilo de exibição x} $X$ subtraindo

b2uma{displaystyle {frac {b}{2a}}} ${frac{b}{2a}}$ em ambos os lados.

X = - b 2 uma \pm \sqrt{b} 2 - 4 uma c 2 uma

$x={frac{-b}{2a}}pm {frac{{sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$

8. Escreva o lado direito sob um denominador comum. Isso não é como a fórmula abc, a fórmula para resolver uma equação quadrática na forma padrão. Isso funciona para qualquer

uma, b, c

$abc$ e dá

X

$X$ como resultado, que pode ser um número real ou complexo. Para verificar se esse processo funciona, basta seguir as etapas deste artigo na ordem inversa para reverter para o formulário padrão.

X = - b \pm \sqrt{b} 2 - 4 uma c 2 uma

$x={frac{-bpm {sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$

Pontas

É interessante notar que a fórmula abc também se aplica a coeficientes complexos, embora você tenha que simplificar um pouco mais para obter a resposta final, e as raízes não são pares conjugados. Problemas com expressões quadráticas são, no entanto, quase sempre dados com coeficientes reais.