Como calcular a inclinação e as interseções de uma linha

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A inclinação de uma linha mede a inclinação da linha.Você também pode dizer que é a distância no eixo y em comparação com a distância no eixo x -- ou seja, quanto a linha sobe verticalmente em relação a quanto ela aumenta horizontalmente. Ser capaz de encontrar a inclinação de uma linha, ou usar a inclinação para encontrar pontos na linha, é uma habilidade importante usada em matemática, economia, ciências, contabilidade/finanças e outros campos.

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Método 1 de 4: Usando um gráfico para encontrar a inclinação

Imagem intitulada Calcular inclinação e interceptações de uma linha Etapa 1

1. Escolha dois pontos na linha. Desenhe pontos no gráfico para representar esses pontos e anote suas coordenadas.

Ao desenhar pontos, não se esqueça de mencionar primeiro a coordenada x e depois a coordenada y.
Por exemplo: você pode escolher os pontos (-3, -2) e (5, 4).

Imagem intitulada Calcular inclinação e interceptações de uma linha Etapa 2

2. Encontre a elevação entre os dois pontos. Para fazer isso, você precisa comparar a diferença em y dos dois pontos. Comece com o primeiro ponto, o ponto mais à esquerda no gráfico, e conte até chegar à coordenada y do segundo ponto.

O aumento pode ser positivo ou negativo; ou seja, você tem que contar para cima ou talvez para baixo para encontrá-lo. Se a linha se move para cima e para a direita, o aumento é positivo. Se a linha se move para baixo e para a direita, o aumento é negativo.

Por exemplo, se a coordenada y do primeiro ponto for (-2) e a coordenada y do segundo ponto for (4), então você adiciona seis pontos e o aumento é 6.

Imagem intitulada Calcular inclinação e interceptações de uma linha Etapa 3

3. Determine a distância horizontal entre os dois pontos. Para fazer isso, você precisa comparar a diferença nos valores de x dos dois pontos. Comece com o primeiro ponto, o ponto mais à esquerda do gráfico, e conte até chegar à coordenada x do segundo ponto.

A distância horizontal é sempre positiva; ou seja, você só pode contar da esquerda para a direita, nunca da direita para a esquerda.

Por exemplo, se a coordenada x do primeiro ponto for (-3), e a coordenada x do segundo ponto for (5), então você contaria uma distância de 8.

Imagem intitulada Calcular inclinação e interceptações de uma linha Etapa 4

4. Faça uma razão y/x para encontrar a inclinação. A inclinação é geralmente uma fração, mas também pode ser um número inteiro.

Por exemplo, se a subida é 6 e a queda é 8, então sua inclinação é

\frac{6}{8}

${displaystyle {frac {6}{8}}}$ , que pode ser simplificado para

\frac{3}{4}

${frac{3}{4}}$ .

Método 2 de 4: Usando dois pontos dados para encontrar a inclinação

Imagem intitulada Calcular a inclinação e as interceptações de uma linha Etapa 5

1. Escreva a seguinte fórmula:

m = y 2 - y_{1} X 2 - X_{1}

${displaystyle m={frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$ . Nesta fórmula, `m` é a inclinação,

(X 1, y_{1})

$(x_{{1}},y_{{1}})$ são as coordenadas do primeiro ponto,

(X 2, y_{2})

$(x_{{2}},y_{{2}})$ são as coordenadas do segundo ponto.

Lembre-se que a inclinação é igual a $\frac{y}{X}$ ${frac{y}{x}}$ . Você usa esta fórmula para encontrar a mudança em y (aumento) sobre a mudança em x (distância).

Imagem intitulada Calcular inclinação e interceptações de uma linha Etapa 6

2. Coloque as coordenadas x e y na fórmula. Certifique-se de ter as coordenadas do primeiro ponto (

(X 1, y_{1})

$(x_{{1}},y_{{1}})$ ) e o segundo ponto (

(X 2, y_{2})

$(x_{{2}},y_{{2}})$ ) nos lugares corretos na fórmula, caso contrário você não calculará a inclinação correta.

Por exemplo, dados os pontos (-3, -2) e (5, 4), sua fórmula ficará assim:

m = 4 - (- 2) 5 - (- 3)

${displaystyle m={frac {4-(-2)}{5-(-3)}}}$ .

Imagem intitulada Calcular a inclinação e as interceptações de uma linha Etapa 7

3. Complete o cálculo e simplifique se possível. Isso lhe dará a inclinação como uma fração ou número inteiro.

Por exemplo: com uma inclinação

m = 4 - (- 2) 5 - (- 3)

${displaystyle m={frac {4-(-2)}{5-(-3)}}}$ você calcula

4 - (- 2) = 6

${estilo de exibição 4-(-2)=6}$ no numerador ((lembre-se de adicionar ao subtrair um número negativo) e

5 - (- 3) = 8

${estilo de exibição 5-(-3)=8}$ no denominador. Você simplificou

\frac{6}{8}

${displaystyle {frac {6}{8}}}$ então, para

\frac{3}{4}

${frac{3}{4}}$ , e assim

m = \frac{3}{4}

${displaystyle m={frac {3}{4}}}$ .

Método 3 de 4: Determinando a interseção com o eixo y, dada a inclinação e um ponto

Imagem intitulada Calcular inclinação e interceptações de uma linha Etapa 8

1. Defina a fórmula y=mX+b{estilo de exibição y=mx+b} ${estilo de exibição y=mx+b}$ sobre. Na fórmula, y é a coordenada y de qualquer ponto da linha reta, m é a inclinação, x é a coordenada x de qualquer ponto da linha e b é a interseção com o eixo y.

$y = m X + b$ $y=mx+b$ é a equação de uma reta.
A intersecção com o eixo y é o ponto onde a linha cruza o eixo y.

DICA DO ESPECIALISTA

Grace Imson, MA

Professora de matemática no City College of San FranciscoGrace Imson é professora de matemática com mais de 40 anos de experiência. Atualmente, ela ensina matemática no City College of San Francisco e atuou anteriormente na faculdade de matemática da Saint Louis University. Grace ensinou matemática no ensino fundamental, ensino médio e faculdade. É mestre em ciências da educação com especialização em gestão e supervisão escolar pela Saint Louis University.

Grace Imson, MA
Professor de matemática na City College of San Francisco

Nosso especialista explica:` Se você tem a inclinação e um ponto, você fatora isso na equação da linha. Em y = mx + b, m é a inclinação, e as coordenadas do ponto conterão x e y. Em seguida, resolva para b para encontrar a interseção com o eixo y.

Imagem intitulada Calcular a inclinação e as interceptações de uma linha Etapa 9

2. Processe a inclinação e as coordenadas de um ponto na linha. Lembre-se que a inclinação é igual à elevação sobre a distância horizontal. Se precisar de ajuda para encontrar a inclinação, consulte as instruções acima.

Por exemplo: se a inclinação for igual a

\frac{3}{4}

${frac{3}{4}}$ , e um ponto na linha é (5.4), então a fórmula fica assim:

4 = \frac{3}{4} (5) + b

${displaystyle 4={frac {3}{4}}(5)+b}$ .

Imagem intitulada Calcular inclinação e interceptações de uma linha Etapa 10

3. Resolva a equação para b. Primeiro multiplique a inclinação e a coordenada x. Subtraia este número de ambos os lados para resolver para b.

No problema de exemplo, a equação se torna

4 = 3 \frac{3}{4} + b

${displaystyle 4=3{frac {3}{4}}+b}$ . Se vocês

3 \frac{3}{4}

${displaystyle 3{frac {3}{4}}}$ subtrai de ambos os lados, você acaba com

\frac{1}{4} = b

${displaystyle {frac {1}{4}}=b}$ . Portanto, a interseção com o eixo y é igual a

\frac{1}{4}

${frac{1}{4}}$ .

Imagem intitulada Calcular inclinação e interceptações de uma linha Etapa 11

4. Verifique seu trabalho. Plote o ponto conhecido em um gráfico e, em seguida, desenhe uma linha usando a inclinação (a inclinação). Para encontrar a interseção com o eixo y, encontre o ponto onde a linha intercepta o eixo y.

Por exemplo: se a inclinação

\frac{3}{4}

${frac{3}{4}}$ é, e um ponto é (5.4), então desenhe um ponto para cima (5.4), então desenhe outros pontos ao longo da linha indo quatro para a esquerda e três para baixo. Se você desenhar uma linha através dos pontos, a linha deve cruzar o eixo y logo acima da coordenada (0,0).

Método 4 de 4: Determinando a interseção com o eixo x, dada a inclinação e a interseção com o eixo y

Imagem intitulada Calcular inclinação e interceptações de uma linha Etapa 12

$y = m X + b$ $y=mx+b$ é a equação de uma reta.
A intersecção com o eixo x é o ponto onde a linha cruza o eixo x.

Imagem intitulada Calcular inclinação e interceptações de uma linha Etapa 13

2. Aplique a inclinação e a interseção com o eixo y à fórmula. Lembre-se que a inclinação é igual à elevação sobre a distância horizontal. Se precisar de ajuda para encontrar a inclinação, consulte as instruções acima.

Por exemplo: a inclinação é

\frac{3}{4}

${frac{3}{4}}$ , e a intersecção com o eixo y é

\frac{1}{4}

${frac{1}{4}}$ , então a fórmula ficará assim:

y = \frac{3}{4} X + \frac{1}{4}

${displaystyle y={frac {3}{4}}x+{frac {1}{4}}}$ .

Imagem intitulada Calcular inclinação e interceptações de uma linha Etapa 14

3. Defina y para 0.Você está procurando a interseção com o eixo x, o ponto onde a linha cruza o eixo x. Neste ponto a coordenada y será zero. Então, se definirmos y como 0 e resolvermos a coordenada x correspondente, encontraremos o ponto (x, 0), que é a interseção com o eixo x.

No problema de exemplo, a equação se torna

0 = \frac{3}{4} X + \frac{1}{4}

${displaystyle 0={frac {3}{4}}x+{frac {1}{4}}}$ .

Imagem intitulada Calcular inclinação e interceptações de uma linha Etapa 15

4. Complete a equação resolvendo para x. Primeiro subtraia a interseção com o eixo y de ambos os lados. Em seguida, divida ambos os lados pela inclinação.

No problema de exemplo, a equação se torna

- 1 4 = \frac{3}{4} X

${displaystyle {frac {-1}{4}}={frac {3}{4}}x}$ . Divida os dois lados

\frac{3}{4}

${frac{3}{4}}$ , e você consegue

- 4 12 = X

${displaystyle {frac {-4}{12}}=x}$ . Isso é simplificado para

- 1 3 = X

${displaystyle {frac {-1}{3}}=x}$ . Portanto, a interseção com o eixo x é

(- 1 3, 0)

${displaystyle ({frac {-1}{3}},0)}$ . Por isso

- 1 3

${displaystyle {frac {-1}{3}}}$ .

Imagem intitulada Calcular inclinação e interceptações de uma linha Etapa 16

5. Verifique seu trabalho. Faça um gráfico da interseção com o eixo y e, em seguida, desenhe uma linha com a inclinação. Para encontrar a interseção com o eixo x, encontre o ponto onde a linha intercepta o eixo x.

Por exemplo: se a inclinação

\frac{3}{4}

${frac{3}{4}}$ é , e a interseção com o eixo y

(0, \frac{1}{4})

${displaystyle (0,{frac {1}{4}})}$ , então desenhe o ponto

(0, \frac{1}{4})

${displaystyle (0,{frac {1}{4}})}$ , e, em seguida, desenhe outros pontos ao longo da linha contando 4 para a esquerda e 3 para baixo, e 3 para a direita e 4 para cima. Se você desenhar uma linha através dos pontos, verá que a linha cruza o eixo x logo à esquerda da coordenada (0,0).