Resolvendo Equações Trigonométricas: 8 Passos (com Imagens)

Uma equação trigonométrica é uma equação com uma ou mais funções trigonométricas da variável curva trigonométrica x. Resolver para x significa encontrar os valores das curvas trigonométricas cujas funções trigonométricas tornam a equação trigonométrica verdadeira.

Respostas ou valores das curvas de solução, são expressos em graus ou radianos. Exemplos:

x = Pi/3; x = 5Pi/6; x = 3Pi/2; x = 45 graus; x = 37,12 graus; x = 178,37 graus

Nota: No círculo unitário, as funções trigonométricas de qualquer curva são iguais às funções trigonométricas do ângulo correspondente. O círculo unitário define todas as funções trigonométricas da curva variável x. Também é usado como prova ao resolver equações trigonométricas básicas e desigualdades.
Exemplos de equações trigonométricas:

sen x + sen 2x = 1/2;tan x + berço x = 1.732;
cos 3x + sen 2x = cos x; 2sen 2x + cos x = 1 .

O círculo unitário.
Este é um círculo com Raio = 1, onde O é a origem. O círculo unitário define 4 funções trigonométricas principais da curva variável x, que circula no sentido anti-horário em torno dela.
Quando a curva com valor x varia no círculo unitário, então vale:
O eixo horizontal OAx define a função trigonométrica f(x) = cos x.
O eixo vertical OBy define a função trigonométrica f(x) = sin x.
O eixo vertical AT define a função trigonométrica f(x) = tan x.
O eixo horizontal BU define a função trigonométrica f(x) = cot x.

O círculo unitário também é usado para resolver equações trigonométricas básicas e desigualdades trigonométricas padrão, considerando as várias posições da curva x no círculo.

Degraus

Imagem intitulada Resolver equações trigonométricas Etapa 1

1. Entenda o método de solução.

Para resolver uma equação trigonométrica, converta-a em uma ou mais equações trigonométricas básicas. Resolver equações trigonométricas eventualmente resulta na resolução de 4 equações trigonométricas básicas.

Imagem intitulada Resolver equações trigonométricas Etapa 2

2. Saber resolver equações trigonométricas básicas.

Existem 4 equações trigonométricas básicas:

sen x = a; cos x = a

tanx = a; berço x = a

Resolver as equações trigonométricas básicas é feito estudando as várias posições da curva x no círculo trigonométrico e usando uma tabela de conversão trigonométrica (ou calculadora). Para entender completamente como resolver essas e outras equações trigonométricas básicas, leia o seguinte livro:"Trigonometria: Resolvendo equações e desigualdades trigonométricas" (E-book Amazon 2010).

Exemplo 1. Resolva para sen x = 0,866. A tabela de conversão (ou calculadora) dá a resposta: x = Pi/3. O círculo trigonométrico dá outra curva (2Pi/3) com o mesmo valor para o seno (0,866). O círculo trigonométrico também dá uma infinidade de respostas chamadas respostas estendidas.

x1 = Pi/3 + 2k.Pi e x2 = 2Pi/3.(Respostas dentro de um período (0, 2Pi))

x1 = Pi/3 + 2k Pi e x2 = 2Pi/3 + 2k Pi.(Respostas detalhadas).

Exemplo 2. Resolva: cos x = -1/2. As calculadoras dão x = 2 Pi/3. O círculo trigonométrico também dá x = -2Pi/3.

x1 = 2Pi/3 + 2k.Pi e x2 = - 2Pi/3.(Respostas para o período (0, 2Pi))

x1 = 2Pi/3 + 2k Pi e x2 = -2Pi/3 + 2k.pi.(Respostas detalhadas)

Exemplo 3. Resolva: tan (x - Pi/4) = 0.

x = Pi/4 ;(Resposta)

x = Pi/4 + k Pi;(Resposta estendida)

Exemplo 4. Resolva: berço 2x = 1.732. As calculadoras e o círculo trigonométrico fornecem:

x = Pi/12 ;(Resposta)

x = Pi/12 + k Pi ;(Respostas detalhadas)

Imagem intitulada Resolver equações trigonométricas Etapa 3

3. Aprenda as transformações usadas na resolução de equações trigonométricas.

Para converter uma determinada equação trigonométrica em equações trigonométricas padrão, use conversões algébricas padrão (fatorar, fator comum, polinômios...), definições e propriedades de funções trigonométricas e identidades trigonométricas. Existem cerca de 31, das quais 14 são identidades trigonométricas, de 19 a 31, também chamadas de identidades detransformadas, pois são usadas na conversão de equações trigonométricas. Veja o livro acima.

Exemplo 5: A equação trigonométrica: sen x + sen 2x + sen 3x = 0 pode ser convertida usando identidades trigonométricas em um produto de equações trigonométricas básicas: 4cos x*sen (3x/2)*cos (x/2) = 0. As equações trigonométricas básicas para resolver são: cos x = 0 ; sin(3x/2) = 0 ; e cos(x/2) = 0.

Imagem intitulada Resolver equações trigonométricas Etapa 4

4. Encontre as curvas cujas funções trigonométricas são conhecidas.

Antes de aprender a resolver equações trigonométricas, você precisa saber como encontrar rapidamente as curvas cujas funções trigonométricas são conhecidas. Os valores de conversão de curvas (ou ângulos) podem ser determinados com tabelas trigonométricas ou a calculadora.

Exemplo: Resolva para cos x = 0.732. A calculadora dá a solução x = 42,95 graus. O círculo unitário fornece outras curvas com o mesmo valor para o cosseno.

Imagem intitulada Resolver equações trigonométricas Etapa 5

5. Desenhe o arco da resposta no círculo unitário.

Você pode fazer um gráfico para ilustrar a solução para o círculo unitário. As extremidades dessas curvas consistem em polígonos comuns no círculo trigonométrico. Alguns exemplos:

Os pontos finais da curva x = Pi/3 + k.Pi/2 é um quadrado no círculo unitário.

As curvas de x = Pi/4 + k.Pi/3 são representados pelas coordenadas de um hexágono no círculo unitário.

Imagem intitulada Resolver equações trigonométricas Etapa 6

6. Aprenda a resolver equações trigonométricas.

Se a equação trigonométrica dada contém apenas uma função trigonométrica, resolva-a como uma equação trigonométrica padrão. Se a equação dada contém duas ou mais funções trigonométricas, então existem 2 métodos de solução dependendo das opções para converter a equação.

uma.Método 1.

Converta a equação trigonométrica em um produto da forma: f(x).g(x) = 0 ou f(x).g(x).h(x) = 0, onde f(x), g(x) e h(x) são equações trigonométricas básicas.

Exemplo 6. Resolva: 2cos x + sen 2x = 0.(0 < X < 2Pi)

Solução. Substitua sen 2x na equação usando a identidade: sen 2x = 2*sen x*cos x.

cos x + 2*sen x*cos x = 2cos x*(sen x + 1)= 0. Em seguida, resolva 2 funções trigonométricas padrão: cos x = 0 e (sen x + 1) = 0.

Exemplo 7. Resolva: cos x + cos 2x + cos 3x = 0.(0 < X < 2Pi)

Solução: Converta isso em um produto, usando as identidades trigonométricas: cos 2x(2cos x + 1 ) = 0. Agora resolva as 2 equações trigonométricas básicas: cos 2x = 0, e (2cos x + 1) = 0.

Exemplo 8. Resolva: sen x - sen 3x = cos 2x.(0 < X < 2Pi)

Solução: Converta isso em um produto, usando as identidades trigonométricas: -cos 2x*(2sen x + 1) = 0. Agora resolva as 2 equações trigonométricas básicas: cos 2x = 0, e (2sen x + 1) = 0.

B.Abordagem 2.

Converter a equação trigonométrica em uma equação trigonométrica com apenas uma função trigonométrica única como variável. Existem algumas dicas sobre como escolher uma variável adequada. As variáveis comuns são: sin x = t; cosx = t; cos 2x = t, tan x = te tan (x/2) = t.

Exemplo 9. Resolva: 3sen^2 x - 2cos^2 x = 4sen x + 7(0 < X < 2Pi).

Solução. Na equação, substitua (cos^2 x) por (1 - sin^2 x) e simplifique a equação:

3sen^2 x - 2 + 2sen^2 x - 4sen x - 7 = 0. Agora use sen x = t. A equação se torna: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Esta é uma equação quadrática com 2 raízes: t1 = -1 e t2 = 9/5. Podemos rejeitar o segundo t2 porque > 1. Agora resolva para: t = sen = -1 --> x = 3Pi/2.

Exemplo 10. Resolva: tan x + 2 tan^2 x = berço x + 2.

Solução. Use tan x = t. Converta a equação dada em uma equação com t como a variável: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Resolva para t deste produto, então resolva a equação trigonométrica padrão tan x = t para x.

Imagem intitulada Resolver equações trigonométricas Etapa 7

7. Resolver equações trigonométricas especiais.

Existem algumas equações trigonométricas especiais que requerem algumas conversões específicas. Exemplos:

a*sen x+ b*cos x = c ; a(sen x + cos x) + b*cos x*sen x = c ;

a*sen^2 x + b*sen x*cos x + c*cos^2 x = 0

Imagem intitulada Resolver equações trigonométricas Etapa 8

8. Aprenda as propriedades periódicas das funções trigonométricas.

Todas as funções trigonométricas são periódicas, o que significa que retornam ao mesmo valor após uma rotação durante um período. Exemplos:

A função f(x) = sen x tem 2Pi como período.

A função f(x) = tan x tem Pi como período.

A função f(x) = sen 2x tem Pi como período.

A função f(x) = cos (x/2) tem 4Pi como período.

Se o período for especificado nos exercícios/teste, você só precisa encontrar a(s) curva(s) x dentro desse período.

CUIDADO: Resolver equações trigonométricas é complicado e muitas vezes leva a erros e enganos. Portanto, as respostas devem ser verificadas cuidadosamente. Depois de resolver você pode verificar as respostas usando uma calculadora gráfica, para uma representação direta da equação trigonométrica dada R(x) = 0. As respostas (como uma raiz quadrada) são dadas em decimais. Como exemplo, Pi tem um valor de 3,14