Resolvendo Equações de Frações: 8 Passos (com Imagens)

Contente

Degraus
- Método 1 de 2: Método Um: Multiplicação Cruzada
- Método 2 de 2: Método Dois: Encontrando o Mínimo Múltiplo Comum (MLC) dos denominadores
Pontas

Uma função racional é uma fração com uma ou mais variáveis no numerador ou denominador. Uma equação racional é qualquer equação que contém pelo menos uma expressão racional. Como as equações algébricas regulares, as expressões racionais podem ser resolvidas aplicando a mesma operação em ambos os lados da equação até que a variável seja isolada em um lado do sinal de igual. Dois métodos especiais, multiplicação cruzada e encontrar o mínimo múltiplo comum dos denominadores, são particularmente úteis para isolar variáveis e resolver equações racionais.

Degraus

Método 1 de 2: Método Um: Multiplicação Cruzada

Imagem intitulada Resolver equações racionais Etapa 1

1. Se necessário, reorganize a equação para garantir que haja uma fração em ambos os lados do sinal de igual. A multiplicação cruzada é um método rápido para resolver equações racionais. Infelizmente, este método só funciona para equações racionais que têm exatamente uma expressão racional ou fração em ambos os lados do sinal de igual. Se esse não for o caso da sua equação, provavelmente você precisará de algumas operações algébricas para obter os termos no lugar certo.

Por exemplo, a equação (x + 3)/4 - x/(-2) = 0 pode ser facilmente convertida para a forma correta para multiplicação cruzada adicionando x/(-2) a ambos os lados da equação, tornando-a o resultado fica assim: (x + 3)/4 = x/(-2).

Lembre-se que decimais e inteiros podem ser convertidos em frações dando-lhes como denominador 1. (x + 3)/4 - 2.5 = 5, por exemplo, pode ser reescrito como (x + 3)/4 = 7.5/1, que permite aplicar a multiplicação cruzada.

Algumas equações racionais não podem ser tão facilmente convertidas para a forma correta. Nesses casos, use os métodos que usam o mínimo múltiplo comum dos denominadores.

Imagem intitulada Resolver equações racionais Etapa 2

2. Multiplicação cruzada. Multiplicação cruzada significa simplesmente multiplicar o numerador de uma fração pelo denominador da outra e vice-versa. Multiplique o numerador da fração à esquerda do sinal de igual pela fração à direita. Repita com o numerador à direita e o denominador da fração à esquerda.

A multiplicação cruzada funciona em princípios algébricos comuns. Expressões racionais e outras frações podem ser convertidas em números ordinários multiplicando os denominadores. A multiplicação cruzada é basicamente uma maneira conveniente e abreviada de multiplicar ambos os lados da equação pelos denominadores das frações. Você não acredita? Experimente - você verá os mesmos resultados depois de simplificar.

Imagem intitulada Resolver equações racionais Etapa 3

3. Faça os dois produtos iguais entre si. Após a multiplicação cruzada, você fica com dois produtos. Faça esses dois termos iguais e simplifique-os para deixar os termos mais simples em ambos os lados da equação.

Por exemplo, se (x+3)/4 = x/(-2) era sua expressão racional original, então após a multiplicação cruzada ela se torna igual a -2(x+3) = 4x. Isso pode ser reescrito como -2x - 6 = 4x.

Imagem intitulada Resolver equações racionais Etapa 4

4. Resolva para a variável. Use operações algébricas para encontrar o valor da variável na equação. Lembre-se de que se x aparece em ambos os lados do sinal de igual, você precisa adicionar ou subtrair um termo x para garantir que haja apenas termos x em um lado do sinal de igual.

Em nosso exemplo, é possível dividir ambos os lados da equação por -2, o que nos dá x+3 = -2x. Subtraindo x de ambos os lados do sinal de igual nos dá 3 = -3x. E finalmente, dividindo ambos os lados por -3 temos -1 = x, ou também x = -1. Agora encontramos x resolvendo nossa equação racional.

Método 2 de 2: Método Dois: Encontrando o Mínimo Múltiplo Comum (MLC) dos denominadores

Imagem intitulada Solve Rational Equations Step 5

1. Tente ver quando encontrar o mínimo múltiplo comum dos denominadores é óbvio. O mínimo múltiplo comum (MLC) dos denominadores pode ser utilizado na simplificação de equações racionais, possibilitando encontrar os valores de suas variáveis. Encontrar um LCF é uma boa ideia se a equação racional não puder ser facilmente reescrita em uma forma em que haja apenas uma fração ou expressão racional em cada lado do sinal de igual. Para resolver equações racionais com três termos ou mais, LCFs são uma ferramenta útil. Mas para resolver equações racionais com apenas dois termos, a multiplicação cruzada geralmente é mais rápida.

Imagem intitulada Resolver equações racionais Etapa 6

2. Examine o denominador de cada fração. Encontre o menor número que é divisível por qualquer denominador. Este é o kgv da sua equação.

Às vezes, o mínimo múltiplo comum – o menor número que é divisível por cada um dos denominadores – é imediatamente aparente. Por exemplo, se sua expressão se parece com x/3 + 1/2 = (3x+1)/6, é fácil ver que lcm deve ser divisível por 3, 2 e 6, então é igual a 6.

Mas mais frequentemente o LCF de uma equação racional não é imediatamente claro. Nesses casos, tente os múltiplos do maior denominador até encontrar um número que inclua os múltiplos dos outros denominadores menores. Muitas vezes o LCF é um produto de dois denominadores. Por exemplo, pegue a equação x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, onde lcm é igual a 8*9 = 72.

Se um ou mais denominadores contém uma variável, este processo é um pouco mais difícil, mas certamente não é impossível. Nesses casos, o LCF é uma expressão (com variáveis) na qual todos os denominadores se encaixam completamente, não apenas um único número. Como exemplo, a equação 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x), onde o lcg é igual a 3x(x-1), porque é totalmente divisível por qualquer denominador – dividindo por (x- 1 ) dá 3x, divisão por 3x dá (x-1) e divisão por x dá 3(x-1).

Imagem intitulada Solve Rational Equations Step 7

3. Multiplique cada fração na equação racional por 1. Multiplicar qualquer termo por 1 pode parecer inútil, mas há um truque aqui. 1 pode ser escrito como uma fração – ex. 2/2 e 3/3. Multiplique cada fração em sua equação racional por 1, escrevendo 1 cada vez que o número ou termo multiplicado por cada denominador para representar o LCF como uma fração.

Em nosso exemplo, podemos multiplicar x/3 por 2/2 para obter 2x/6 e multiplicar 1/2 por 3/3 para obter 3/6. 3x +1/6 já tem um 6 (LCM) como denominador, então podemos multiplicá-lo por 1/1 ou simplesmente deixar em paz.

No nosso exemplo com variáveis nos denominadores, todo o processo é um pouco mais complicado. Como o lcc é igual a 3x(x-1) multiplicamos qualquer expressão racional por uma fração que produz 3x(x-1) como denominador. Multiplicamos 5/(x-1) por (3x)/(3x) e isso dá 5(3x)/(3x)(x-1), multiplicamos 1/x por 3(x-1)/3(x) -1) e isso dá 3(x-1)/3x(x-1) e nós multiplicamos 2/(3x) por (x-1)/(x-1) e isso finalmente dá 2(x-1)/ 3x(x-1).

Imagem intitulada Solve Rational Equations Step 8

4. Simplifique e resolva para x. Agora que cada termo em sua equação racional tem o mesmo denominador, é possível remover os denominadores da equação e resolver os numeradores. Basta multiplicar ambos os lados da equação pelo lcg para eliminar os denominadores, de modo que você fique apenas com os numeradores. Agora tornou-se uma equação regular que você pode resolver para a variável isolando-a em um lado do sinal de igual.

No nosso exemplo, depois de multiplicar, apostando 1 como fração, obtemos 2x/6 + 3/6 = (3x+1)/6. Duas frações podem ser adicionadas se tiverem o mesmo denominador, então podemos escrever esta equação como (2x+3)/6 = (3x+1)/6 sem alterar seu valor. Multiplique ambos os lados por 6 para cancelar os denominadores, deixando-nos com 2x+3 = 3x+1. Aqui subtraia 1 de ambos os lados para obter 2x+2 = 3x e subtraia 2x de ambos os lados para obter 2 = x, que também pode ser escrito como x = 2.

No nosso exemplo com variáveis nos denominadores, a equação depois de multiplicar cada termo por "1" igual a 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x-1) + 2(x-1)/3x(x-1). A multiplicação de cada termo por lcm permite eliminar os denominadores, o que nos dá 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1). Isso é mais elaborado como 15x = 3x - 3 + 2x -2, que pode novamente ser simplificado como 15x = x - 5. Subtrair x de ambos os lados resulta em 14x = -5, o que pode simplificar a resposta final para x = -5/14.

Pontas

Depois de encontrar o valor da variável, verifique sua resposta inserindo esse valor na equação original. Depois de acertar o valor da variável, você deve ser capaz de simplificar a equação para um teorema simples e válido, como 1 = 1.
Cada equação pode ser escrita como uma expressão racional; basta colocá-lo como numerador acima do denominador 1. Então a equação x+3 pode ser escrita como (x+3)/1, ambas têm o mesmo valor.