Como saber se uma função é par ou ímpar: 8 passos (com imagens)

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Degraus
- Método 1 de 2: Testando a função algebricamente
- Método 2 de 2: teste a função graficamente
Pontas
Aviso

Uma maneira de classificar funções é `par`, `ímpar` ou nenhuma. Esses termos referem-se à repetição ou simetria da função. A melhor maneira de descobrir é manipulando algebricamente a função. Você também pode estudar o gráfico da função e procurar a simetria. Depois de saber como classificar os recursos, você também pode prever a aparência de certas combinações de recursos.

Degraus

Método 1 de 2: Testando a função algebricamente

Imagem intitulada Diga se uma função é par ou ímpar Etapa 1

1. Ver variáveis inversas. Em álgebra, o recíproco de uma variável é negativo. Isso é verdade ou a variável da função agora

X

$X$ é ou outra coisa. Se a variável da função original já é negativa (ou uma subtração), então sua recíproca é positiva (ou uma adição). Seguem alguns exemplos de variáveis e suas inversas:

O inverso de $X$ $X$ é $- X$ $-X$
O inverso de $q$ $q$ é $- q$ $-q$
O inverso de $- C$ $-C$ é $C$ $C$ .

Imagem intitulada Diga se uma função é par ou ímpar Etapa 2

2. Substitua cada variável da função por sua inversa. Não altere a função original, exceto o caractere. Por exemplo:

f (X) = 4 X 2 - 7

$f(x)=4x^{2}-7$ está se tornando

f (- X) = 4 (- X) 2 - 7

$f(-x)=4(-x)^{2}-7$

g (X) = 5 X 5 - 2 X

$g(x)=5x^{5}-2x$ está se tornando

g (- X) = 5 (- X) 5 - 2 (- X)

$g(-x)=5(-x)^{5}-2(-x)$

h (X) = 7 X 2 + 5 X + 3

$h(x)=7x^{2}+5x+3$ está se tornando

h (- X) = 7 (- X) 2 + 5 (- X) + 3

$h(-x)=7(-x)^{2}+5(-x)+3$ .

Imagem intitulada Diga se uma função é par ou ímpar Passo 3

3. Simplifique o novo recurso. Neste ponto, você não precisa se preocupar em resolver a função para um determinado valor numérico. Você apenas simplifica as variáveis para comparar a nova função, f(-x), com a função original, f(x). Lembre-se das regras básicas dos expoentes que dizem que uma base negativa para uma potência par será positiva, enquanto uma base negativa para uma potência ímpar será negativa.

f (- X) = 4 (- X) 2 - 7

$f(-x)=4(-x)^{2}-7$

f (- X) = 4 X 2 - 7

$f(-x)=4x^{2}-7$

g (- X) = 5 (- X) 5 - 2 (- X)

$g(-x)=5(-x)^{5}-2(-x)$

g (- X) = 5 (- X 5) + 2 X

$g(-x)=5(-x^{5})+2x$

g (- X) = - 5 X 5 + 2 X

$g(-x)=-5x^{5}+2x$

h (- X) = 7 (- X) 2 + 5 (- X) + 3

$h(-x)=7(-x)^{2}+5(-x)+3$

h (- X) = 7 X 2 - 5 X + 3

$h(-x)=7x^{2}-5x+3$

Imagem intitulada Diga se uma função é par ou ímpar Etapa 4

4. Compare as duas funções. Para cada exemplo que você tentar, compare a versão simplificada de f(-x) com a original f(x). Coloque os termos lado a lado para facilitar a comparação e compare os sinais de todos os termos.

Se os dois resultados forem iguais, então f(x)=f(-x), e a função original é par. Um exemplo é:

f (X) = 4 X 2 - 7

$f(x)=4x^{2}-7$ e

f (- X) = 4 X 2 - 7

$f(-x)=4x^{2}-7$ .

Esses dois são iguais e, portanto, a função é par.

Se cada termo da nova versão da função é o recíproco do termo correspondente da original, então f(x)=-f(-x) e a função é ímpar. Por exemplo:

g (X) = 5 X 5 - 2 X

$g(x)=5x^{5}-2x$ mas

g (- X) = - 5 X 5 + 2 X

$g(-x)=-5x^{5}+2x$ .

Observe que se você multiplicar cada termo da primeira função por -1, você torna a segunda função. Então a função original g(x) é ímpar.

Se a nova função não corresponder a nenhum desses dois exemplos, ela não é nem par nem ímpar. Por exemplo:

h (X) = 7 X 2 + 5 X + 3

$h(x)=7x^{2}+5x+3$ mas

h (- X) = 7 X 2 - 5 X + 3

$h(-x)=7x^{2}-5x+3$ . O primeiro termo é o mesmo em todas as funções, mas o segundo termo é um inverso. Portanto, esta função não é nem par nem ímpar.

Método 2 de 2: teste a função graficamente

Imagem intitulada Diga se uma função é par ou ímpar Passo 5

1. Faça o gráfico da função. Use papel quadriculado ou uma calculadora gráfica para representar graficamente a função. Escolha diferentes valores numéricos para

X

$X$ e conecte isso na função para obter o valor resultante de

y

$y$ calcular. Plote esses pontos no gráfico e depois de traçar vários pontos desenhe uma linha através deles para representar graficamente a função.

Ao traçar os pontos, preste atenção aos valores positivos e negativos correspondentes para $X$ $X$ . Por exemplo, se você estiver lidando com a função $f (X) = 2 X 2 + 1$ $f(x)=2x^{2}+1$ , então você plota os seguintes valores:

$f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3$ $f(1)=2(1)^{2}+1=2+1=3$ . Isso resulta no ponto $(1, 3)$ $(1.3)$ .
$f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9$ $f(2)=2(2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9$ . Isso resulta no ponto $(2, 9)$ $(2.9)$ .
$f (- 1) = 2 (- 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3$ $f(-1)=2(-1)^{2}+1=2+1=3$ . Isso resulta no ponto $(- 1, 3)$ $(-1,3)$ .
$f (- 2) = 2 (- 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9$ $f(-2)=2(-2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9$ . Isso resulta no ponto $(- 2, 9)$ $(-2,9)$ .

Imagem intitulada Diga se uma função é par ou ímpar Passo 6

2. Observe a simetria ao longo do eixo y. Ao olhar para uma função, a simetria irá sugerir uma imagem espelhada. Se você perceber que a parte do gráfico do lado direito (positivo) do eixo y corresponde à parte do gráfico do lado esquerdo (negativo) do eixo y, então o gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Se uma função é simétrica em relação ao eixo y, então a função é par.

Você pode testar a simetria selecionando pontos individuais. Se o valor de y de qualquer valor de x for o mesmo que o valor de y de -x, então a função é par. Os pontos escolhidos acima para plotagem

f (X) = 2 X 2 + 1

$f(x)=2x^{2}+1$ dê os seguintes resultados:

(1,3) e (-1,3)

(2,9) e (-2,9).

Os valores de y correspondentes para x=1 e x=-1, e para x=2 e x=-2, indicam que esta é uma função par. Para um teste melhor, selecionar dois pontos não é evidência suficiente, mas é uma boa indicação.

Imagem intitulada Diga se uma função é par ou ímpar Passo 7

3. Teste de simetria da origem. A origem é o ponto central (0,0). Simetria de origem significa que um resultado positivo para um valor x escolhido corresponderá a um resultado negativo para -x e vice-versa. Funções ímpares exibem simetria de origem.

Se você escolher um par de valores de teste para x e seus valores correspondentes inversos para -x, deverá obter resultados inversos. Considere o recurso

f (X) = X 3 + X

$f(x)=x^{3}+x$ . Esta função retorna os seguintes pontos:

f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2

$f(1)=1^{3}+1=1+1=2$ . O ponto é (1,2).

f (- 1) = (- 1) 3 + (- 1) = - 1 - 1 = - 2

$f(-1)=(-1)^{3}+(-1)=-1-1=-2$ . O ponto é (-1,-2).

f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10

$f(2)=2^{3}+2=8+2=10$ . O ponto é (2,10).

f (- 2) = (- 2) 3 + (- 2) = - 8 - 2 = - 10

$f(-2)=(-2)^{3}+(-2)=-8-2=-10$ . O ponto é (-2,-10).

Assim f(x)=-f(-x), e você pode concluir que a função é ímpar.

Imagem intitulada Diga se uma função é par ou ímpar Passo 8

4. Veja se não há simetria. O último exemplo é uma função sem simetria em ambos os lados. Se você olhar para o gráfico, verá que não é uma imagem espelhada no eixo y ou em torno da origem. Veja o recurso

f (X) = X 2 + 2 X + 1

$f(x)=x^{2}+2x+1$ .

Escolha um par de valores para x e -x, como segue:

f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4

$f(1)=1^{2}+2(1)+1=1+2+1=4$ . O ponto para plotar é (1,4).

f (- 1) = (- 1) 2 + 2 (- 1) + (- 1) = 1 - 2 - 1 = - 2

$f(-1)=(-1)^{2}+2(-1)+(-1)=1-2-1=-2$ . O ponto a ser plotado é (-1,-2).

f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10

$f(2)=2^{2}+2(2)+2=4+4+2=10$ . O ponto para plotar é (2,10).

f (- 2) = (- 2) 2 + 2 (- 2) + (- 2) = 4 - 4 - 2 = - 2

$f(-2)=(-2)^{2}+2(-2)+(-2)=4-4-2=-2$ . O ponto para plotar é (2,-2).

Isso já te dá pontos suficientes para notar que não há simetria. Os valores de y para pares opostos de valores de x não são os mesmos, nem são inversos um do outro. Esta função não é par nem ímpar.

Você pode ver este recurso,

f (X) = X 2 + 2 X + 1

$f(x)=x^{2}+2x+1$ , pode ser reescrito como

f (X) = (X + 1) 2

$f(x)=(x+1)^{2}$ . Escrito desta forma, parece que é uma função par porque há apenas um expoente, e esse é um número par. No entanto, este exemplo ilustra que você não pode determinar se uma função é par ou ímpar quando está entre parênteses. Você tem que avaliar a função em termos individuais e então examinar os expoentes.

Pontas

Se todas as formas de uma variável na função têm expoentes pares, então a função é par. Se todos os expoentes são ímpares, então a função é ímpar no geral.