Como Calcular o Comprimento da Diagonal em um Retângulo

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Degraus

Uma diagonal é uma linha reta que liga um canto de um retângulo com o canto oposto. Um retângulo tem duas diagonais, cada uma com o mesmo comprimento. Se você conhece os comprimentos dos lados de um retângulo, é fácil encontrar o comprimento da diagonal usando o Teorema de Pitágoras, porque uma diagonal divide um retângulo em dois triângulos retângulos. Se você não conhece os comprimentos dos lados, mas tem outros dados (como a área e o perímetro, ou a razão entre os comprimentos dos lados), você pode medir o comprimento e a largura dos lados com um alguns passos extras. encontre o retângulo e, em seguida, usando o teorema de Pitágoras, encontre o comprimento e a largura da diagonal.

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Método 1 de 3: usando o comprimento e a largura

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo Passo 1

1. Escreva a fórmula do teorema de Pitágoras. A fórmula é

uma 2 + b^{2} = c^{2}

$a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ , através do qual

uma

$uma$ e

b

$b$ são iguais aos comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, e

c

$c$ é igual ao comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo.

Você usa o teorema de Pitágoras porque a diagonal de um retângulo o divide em dois triângulos retângulos congruentes. O comprimento e a largura do retângulo são os comprimentos dos lados do triângulo; a diagonal é a hipotenusa do triângulo.

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo Passo 2

2. Aplique o comprimento e a largura à fórmula. Estes são se for dado corretamente, ou você pode medi-los. Certifique-se de substituir por

uma

$uma$ e

b

$b$ .

Por exemplo, se a largura de um retângulo for 3 cm e o comprimento for 4 cm, sua fórmula ficaria assim:

32 + 4^{2} = c^{2}

$3^{{2}}+4^{{2}}=c^{{2}}$ .

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo Passo 3

3. Esquadre o comprimento e a largura e some esses números. Elevar ao quadrado é multiplicar o número por ele mesmo.

Por exemplo:

32 + 4^{2} = c^{2}

$3^{{2}}+4^{{2}}=c^{{2}}$

9 + 16 = c 2

$9+16=c^{{2}}$

25 = c 2

$25=c^{{2}}$

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo Passo 4

4. Subtraia a raiz quadrada de cada lado da equação. A maneira mais fácil de encontrar uma raiz quadrada é usar uma calculadora. Você pode usar uma calculadora online se não tiver uma calculadora científica. Isso lhe dá o valor

c

$c$ , ou a hipotenusa do triângulo e a diagonal do retângulo.

Por exemplo:

25 = c 2

$25=c^{{2}}$

\sqrt{25} = \sqrt{c} 2

${sqrt{25}}={sqrt{c^{{2}}}}$

5 = c

$5=c$
Então, a diagonal ou retângulo com uma largura de 3 cm e um comprimento de 4 cm é 5 cm.

Método 2 de 3: Usando a área e o perímetro

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo Passo 5

1. Escreva a fórmula da área de um retângulo. A fórmula é

uma = eu C

$A=lw$ , através do qual

uma

$uma$ é igual a área do retângulo,

eu

$eu$ é igual ao comprimento do retângulo, e

C

$C$ é igual à largura do retângulo.

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo Passo 6

2. Use a área do retângulo na fórmula. Certifique-se de substituir a variável correta

uma

$uma$ .

Por exemplo, se a área do retângulo for 35 centímetros quadrados, sua fórmula ficaria assim:

35 = eu C

$35=lw$ .

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo Passo 7

3. Reorganize a fórmula e você obterá um valor para C{estilo de exibição w} $C$ . Você faz isso dividindo ambos os lados da equação por

eu

$eu$ . Deixe esse valor de lado. Você usará isso mais tarde na fórmula para o perímetro.

Por exemplo:

35 = eu C

$35=lw$

\frac{35}{eu} = C

${frac{35}{l}}=w$ .

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo Passo 8

4. Escreva a fórmula do perímetro de um retângulo. A fórmula é

p = 2 (C + eu)

$P=2(w+1)$ , através do qual

C

$C$ é igual à largura do retângulo, e

eu

$eu$ é igual ao comprimento do retângulo.

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo Passo 9

5. Use o valor do perímetro na fórmula. Certifique-se de substituir a variável

p

$p$ .

Por exemplo, se o perímetro de um retângulo for 24 centímetros, sua fórmula ficaria assim:

24 = 2 (C + eu)

$24=2(w+l)$ .

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo Passo 10

6. Divida os dois lados da equação por 2. Isso lhe dá o valor

C + eu

$w+l$ .

Por exemplo:

24 = 2 (C + eu)

$24=2(w+l)$

\frac{24}{2} = 2 (C + eu) 2

${frac{24}{2}}={frac{2(w+l)}{2}}$

12 = C + eu

$12=w+l$ .

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo Passo 11

7. Usar o valor C{estilo de exibição w} $C$ na equação. Use o valor encontrado reorganizando a fórmula da área.

Por exemplo, se você encontrou com a fórmula de área que

\frac{35}{eu} = C

${frac{35}{l}}=w$ , então você substitui o valor

C

$C$ na fórmula circunferencial:

12 = C + eu

$12=w+l$

12 = \frac{35}{eu} + eu

$12={frac{35}{l}}+l$

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo Passo 12

8. Elimine a fração da equação. Você faz isso multiplicando ambos os lados da equação por

eu

$eu$ .

Por exemplo:

12 = \frac{35}{eu} + eu

$12={frac{35}{l}}+l$

12 \times eu = (\frac{35}{eu} \times eu) + (eu \times eu)

$12vezes l=({frac{35}{l}}vezes l)+(lvezes l)$

12 eu = 35 + eu 2

$ch12=35+ch^{{2}}$

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo Passo 13

9. Defina a equação igual a 0. Você faz isso subtraindo o termo de primeiro grau de ambos os lados da equação.

Por exemplo:

12 eu = 35 + eu 2

$ch12=35+ch^{{2}}$

12 eu - 12 eu = 35 + eu 2 - 12 eu

$ch12-12ch=35+ch^{{2}}-12ch$

0 = 35 + eu 2 - 12 eu

$0=35+canal^{{2}}-12canal$

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo Passo 14

10. Reorganizar a ordem dos termos na equação. Isso significa que o termo com o expoente vem primeiro, seguido pelo termo com a variável e, finalmente, a constante. Ao reorganizar, preste atenção aos sinais positivos e negativos corretos. A equação é agora ordenada como equação quadrática.

Por exemplo,

0 = 35 + eu 2 - 12 eu

$0=35+canal^{{2}}-12canal$ está se tornando

0 = eu 2 - 12 eu + 35

$0=ch^{{2}}-12ch+35$ .

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo Passo 15

11. Fatore a equação quadrática. Para obter instruções detalhadas sobre como fazer isso, leia o artigo Resolver equações quadráticas.

Por exemplo, a equação

0 = eu 2 - 12 eu + 35

$0=ch^{{2}}-12ch+35$ pode ser dissolvido em

0 = (eu - 7) (eu - 5)

$0=(l-7)(l-5)$ .

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo Passo 16

12. Determine os valores de eu{estilo de exibição l} $eu$ . Você faz isso definindo cada termo como zero e resolvendo a variável. Você obtém duas soluções para esta equação. Como você está lidando com um retângulo, as duas soluções serão a largura e o comprimento do seu retângulo.

Por exemplo:

0 = (eu - 7)

$0=(l-7)$

7 = eu

$7=l$
E

0 = (eu - 5)

$0=(l-5)$

5 = eu

$5=l$ .
Então, o comprimento e a largura do retângulo são 7 cm e 5 cm.

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo Passo 17

13. Escreva a fórmula do teorema de Pitágoras. A fórmula é

uma 2 + b^{2} = c^{2}

$a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ , através do qual

uma

$uma$ e

b

$b$ são iguais aos comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, e

c

$c$ é igual ao comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo.

Você está usando o Teorema de Pitágoras porque a diagonal de um retângulo o divide em dois triângulos retângulos congruentes. A largura e o comprimento do retângulo são os comprimentos dos lados do triângulo; a diagonal é a hipotenusa do triângulo.

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo 18

14. Use a latitude e longitude na fórmula. Não importa qual valor você usa para qual variável.

Por exemplo, se você souber que a largura e o comprimento do retângulo são 5 cm e 7 cm, sua fórmula ficaria assim:

52 + 7^{2} = c^{2}

$5^{{2}}+7^{{2}}=c^{{2}}$ .

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo 19

15. Esquadre a latitude e a longitude e some esses números. Quadrar significa multiplicar um número por ele mesmo.

Por exemplo:

52 + 7^{2} = c^{2}

$5^{{2}}+7^{{2}}=c^{{2}}$

25 + 49 = c 2

$25+49=c^{{2}}$

74 = c 2

$74=c^{{2}}$

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo Passo 20

16. Tire a raiz quadrada de cada lado da equação. A maneira mais fácil de encontrar uma raiz quadrada é usando uma calculadora. Você pode usar uma calculadora online se não tiver uma calculadora científica. Isso lhe dá o valor

c

$c$ , e essa é a hipotenusa do triângulo e a diagonal do retângulo.

Por exemplo:

74 = c 2

$74=c^{{2}}$

\sqrt{74} = \sqrt{c} 2

${sqrt{74}}={sqrt{c^{{2}}}}$

8.6024 = c

$8,6024=c$
Portanto, a diagonal de um retângulo com área de 35 cm e perímetro de 24 cm é cerca de 8,6 cm.

Método 3 de 3: Usando a área e os comprimentos relacionais dos lados

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo Passo 21

1. Escreva uma fórmula que explique a relação entre os comprimentos dos lados. Você pode alterar o comprimento (

eu

$eu$ ) ou a largura (

C

$C$ ) isolar. Deixe esta fórmula de lado por um momento. Em breve você estará usando-o na fórmula de superfície.

Por exemplo, se você sabe que a largura de um retângulo é 2 cm maior que seu comprimento, você pode escrever uma fórmula como $C$ $C$ : $C = eu + 2$ $w=l+2$ .

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo Passo 22

2. Escreva a fórmula da área de um retângulo. A fórmula é

uma = eu C

$A=lw$ , através do qual

uma

$uma$ é igual a área do retângulo,

eu

$eu$ é igual ao comprimento do retângulo, e

C

$C$ é igual à largura do retângulo.

Você pode usar esse método se souber o perímetro do retângulo, exceto que agora está usando a fórmula do perímetro em vez da fórmula da área. A fórmula do perímetro de um retângulo é

p = 2 (C + eu)

$P=2(w+1)$ , através do qual

C

$C$ é igual à largura do retângulo, e

eu

$eu$ é igual ao comprimento do retângulo.

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo Passo 23

3. Use a área do retângulo na fórmula. Certifique-se de substituir a variável

uma

$uma$ .

Por exemplo, se a área do retângulo for 35 centímetros quadrados, sua fórmula ficaria em volts:

35 = eu C

$35=lw$ .

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo Passo 24

4. Use a fórmula relacional para o comprimento (ou largura) na fórmula. Como você está lidando com um retângulo, não importa se você está trabalhando com variável

eu

$eu$ ou

C

$C$ .

Por exemplo, se você descobriu que

C = eu + 2

$w=l+2$ , então você substitui essa relação por

C

$C$ na fórmula da área:

35 = eu C

$35=lw$

35 = eu (eu + 2)

$35=l(l+2)$

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo Passo 25

5. Faça uma equação quadrática. Você faz isso usando a propriedade distributiva e multiplicando os termos entre parênteses, após o que você define a equação igual a 0.

Por exemplo:

35 = eu (eu + 2)

$35=l(l+2)$

35 = eu 2 + 2 eu

$35=ch^{{2}}+ch2$

0 = eu 2 + 2 eu - 35

$0=ch^{{2}}+ch2-35$

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo 26

6. Fatore a equação quadrática. Para obter instruções detalhadas sobre como fazer isso, leia o artigo Resolver equações quadráticas.

Por exemplo, a equação

0 = eu 2 + 2 eu - 35

$0=ch^{{2}}+ch2-35$ pode ser dissolvido como

0 = (eu + 7) (eu - 5)

$0=(l+7)(l-5)$ .

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo Passo 27

7. Determine os valores de eu{estilo de exibição l} $eu$ . Você faz isso tornando cada termo igual a zero e resolvendo para a variável. Você encontra duas soluções para a equação.

Por exemplo:

0 = (eu + 7)

$0=(l+7)$

- 7 = eu

$-7=ch$
E

0 = (eu - 5)

$0=(l-5)$

5 = eu

$5=l$ .
Neste caso, há uma resposta negativa. Como o comprimento de um retângulo não pode ser negativo, você sabe que o comprimento deve ser 5 cm.

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo 28

8. Use o valor do comprimento (ou largura) em sua fórmula de relacionamento. Isso lhe dará o comprimento do outro lado do retângulo.

Por exemplo, se você sabe que o comprimento do retângulo é 5 cm e que a relação entre os comprimentos dos lados é igual a

C = eu + 2

$w=l+2$ , então você insere 5 como comprimento na fórmula:

C = eu + 2

$w=l+2$

C = 5 + 2

$w=5+2$

C = 7

$w=7$

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo 29

9. Escreva a fórmula do teorema de Pitágoras. A fórmula é

uma 2 + b^{2} = c^{2}

$a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ , através do qual

uma

$uma$ e

b

$b$ são iguais aos comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, e

c

$c$ é igual ao comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo.

Você usa o teorema de Pitágoras porque a diagonal de um retângulo o divide em dois triângulos retângulos congruentes. A largura e o comprimento do retângulo são os comprimentos dos lados do triângulo; a diagonal é a hipotenusa do triângulo.

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo Passo 30

10. Use a latitude e longitude na fórmula. Não importa qual valor você usa para qual variável.

Por exemplo, se você sabe que a largura e o comprimento do retângulo são iguais a 5 cm e 7 cm, sua fórmula agora fica assim:

52 + 7^{2} = c^{2}

$5^{{2}}+7^{{2}}=c^{{2}}$ .

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo Passo 31

11. Esquadre a latitude e a longitude e some esses números. Quadrar significa multiplicar um número por ele mesmo.

Por exemplo:

52 + 7^{2} = c^{2}

$5^{{2}}+7^{{2}}=c^{{2}}$

25 + 49 = c 2

$25+49=c^{{2}}$

74 = c 2

$74=c^{{2}}$

Imagem intitulada Encontre a medida da diagonal dentro de um retângulo Passo 32

12. Subtraia a raiz quadrada de cada lado da equação. A maneira mais fácil de encontrar uma raiz quadrada é usando uma calculadora. Você pode usar uma calculadora online se não tiver uma calculadora científica. Isso lhe dá o valor