Calcular a intersecção de duas linhas

Quando linhas retas se cruzam em um gráfico bidimensional, elas o fazem em apenas um ponto, indicado pelas coordenadas x e y. Como ambas as linhas passam por esse ponto, você sabe que as coordenadas x e y devem satisfazer ambas as equações. Com algumas técnicas extras, você pode encontrar as interseções de parábolas e outras curvas quadráticas, usando a mesma lógica.

Degraus

Método 1 de 2: Determinando a interseção entre duas linhas retas

Imagem intitulada Algebricamente Encontre a Interseção de Duas Linhas Etapa 1
1. Escreva a equação de qualquer linha com y à esquerda. Se necessário, modifique a equação para que y fique isolado em um lado do sinal de igual. Se a equação for escrita com f(x) ou g(x) em vez de y, separe esse termo. Lembre-se que você pode eliminar termos realizando a mesma operação em ambos os lados.
  • As equações são desconhecidas, então determine com base nas informações fornecidas.
  • Exemplo: Suponha que você tenha duas linhas y=X+3{estilo de exibição y=x+3}y=x+3 e y-12=-2X{displaystyle y-12=-2x}a-12=-2x. Para separar y na segunda equação, adicione 12 a cada lado: y=12-2X{estilo de exibição y=12-2x}y=12-2x
Imagem intitulada Algebricamente Encontre a Interseção de Duas Linhas Etapa 2
2. Certifique-se de que os lados direitos das equações são iguais. Estamos procurando um ponto onde as duas linhas tenham os mesmos valores xey; este é o ponto onde as linhas se cruzam. Ambas as equações têm apenas um y à esquerda, então sabemos que os lados direitos são iguais entre si. Escreva uma nova equação mostrando isso.
  • Exemplo: nós sabemos isso y=X+3{estilo de exibição y=x+3}y=x+3 e y=12-2X{estilo de exibição y=12-2x}y=12-2x, e assim X+3=12-2X{estilo de exibição x+3=12-2x}x+3=12-2x.
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    3. Resolva x na equação. A nova equação tem apenas uma variável, x. Resolva isso com álgebra, realizando a mesma operação em ambos os lados. Encontre os termos x de cada lado da equação e coloque-os na forma x = __ (se não for possível, continue lendo no final desta seção).
  • Exemplo:X+3=12-2X{estilo de exibição x+3=12-2x}x+3=12-2x
  • telefone 2X{estilo de exibição 2x}2x em cada lado:
  • 3X+3=12{estilo de exibição 3x+3=12}3x+3=12
  • Subtraia 3 de cada lado:
  • 3X=9{estilo de exibição 3x=9}3x=9
  • Divida cada lado por 3:
  • X=3{estilo de exibição x=3}x=3.
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    4. Use este valor de x para resolver para y. Escolha a equação de cada linha. Substitua cada x na equação pela resposta que você encontrou. Agora resolva para y.
  • Exemplo:X=3{estilo de exibição x=3}x=3 e y=X+3{estilo de exibição y=x+3}y=x+3
  • y=3+3{estilo de exibição y=3+3}y=3+3
  • y=6{estilo de exibição y=6}y=6
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    5. Verifique seu trabalho. É aconselhável inserir seu valor x na outra equação para ver se você obtém o mesmo resultado. Se você obtiver outra solução para y, volte e verifique se há erros no seu trabalho.
  • Exemplo:X=3{estilo de exibição x=3}x=3 e y=12-2X{estilo de exibição y=12-2x}y=12-2x
  • y=12-2(3){estilo de exibição y=12-2(3)}y=12-2(3)
  • y=12-6{estilo de exibição y=12-6}y=12-6
  • y=6{estilo de exibição y=6}y=6
  • Esta é a mesma resposta obtida anteriormente. Nós não cometemos nenhum erro.
  • Imagem intitulada Algebricamente Encontre a Interseção de Duas Linhas Passo 6
    6. Anote as coordenadas x e y da interseção. Agora você resolveu o valor x e o valor y da interseção das duas linhas. Escreva o ponto como uma coordenada, com o valor x como o primeiro número.
  • Exemplo:X=3{estilo de exibição x=3}x=3 e y=6{estilo de exibição y=6}y=6
  • As duas linhas se cruzam no ponto (3.6).
  • Imagem intitulada Algebricamente Encontre a Interseção de Duas Linhas Passo 7
    7. Processe resultados incomuns. Algumas equações tornam impossível resolver x. Isso não significa necessariamente que você cometeu um erro. Existem duas maneiras pelas quais um par de linhas pode levar a uma solução especial:
  • Se as duas linhas são paralelas, elas não se cruzam . Os termos x podem ser eliminados e sua equação pode ser simplificada para uma equação inválida (como 0=1{estilo de exibição 0=1}0=1). Anote aqui`as linhas não se cruzam ou não é uma solução válida` se você responder.
  • Se as duas equações descrevem a mesma linha, então elas `se cruzam` em todos os lugares. Você pode eliminar os termos x e simplificar sua equação para uma equação válida (como 3=3{estilo de exibição 3=3}3=3). escreva `as duas linhas são iguais` como resposta.
  • Método 2 de 2: Problemas com equações do segundo grau

    Imagem intitulada Algebricamente Encontre a Interseção de Duas Linhas Passo 8
    1. Aprenda a reconhecer equações do segundo grau. Em uma equação quadrática, há uma ou mais variáveis ​​na forma quadrática (X2{estilo de exibição x^{2}}x^{2} ou y2{displaystyle y^{2}}^{2}), e não há poderes superiores. As linhas representadas pelas equações são curvas e podem, portanto, cruzar uma linha reta em 0, 1 ou 2 pontos. Nesta parte você aprenderá como encontrar as interseções de tal problema.
    • Trabalhe as equações entre parênteses para ver se elas são quadráticas. Por exemplo, y=(X+3)(X){estilo de exibição y=(x+3)(x)}y=(x+3)(x) é quadrático, porque você pode colocá-lo fora dos parênteses sey=X2+3X.{displaystyle y=x^{2}+3x.}y=x^{2}+3x
    • Ter equações de um círculo ou uma elipse Ambas uma X2{estilo de exibição x^{2}}x^{2} como um y2{displaystyle y^{2}}^{2} prazo. Se você achar esses casos especiais difíceis, continue lendo Dicas no final deste artigo.
    Imagem intitulada Algebricamente Encontre a Interseção de Duas Linhas Passo 9
    2. Escreva as equações em termos de y. Se necessário, reescreva cada equação de modo que y fique de um lado.
  • Exemplo: Encontre a interseção de X2+2X-y=-1{displaystyle x^{2}+2x-y=-1}x^{2}+2x-y=-1 e y=X+7{estilo de exibição y=x+7}y=x+7.
  • Reescreva a equação quadrática em termos de y:
  • y=X2+2X+1{estilo de exibição y=x^{2}+2x+1}y=x^{2}+2x+1 e y=X+7{estilo de exibição y=x+7}y=x+7.
  • Este exemplo tem uma equação quadrática e uma equação linear. Problemas com duas equações quadráticas são resolvidos da mesma maneira.
  • Imagem intitulada Algebricamente Encontre a Interseção de Duas Linhas Passo 10
    3. Combine as duas equações para eliminar o y. Se você fez ambas as equações iguais a y, então você sabe que as duas equações sem o y são iguais entre si.
  • Exemplo:y=X2+2X+1{estilo de exibição y=x^{2}+2x+1}y=x^{2}+2x+1 e y=X+7{estilo de exibição y=x+7}y=x+7
  • X2+2X+1=X+7{estilo de exibição x^{2}+2x+1=x+7}x^{2}+2x+1=x+7
  • Imagem intitulada Algebricamente Encontre a Interseção de Duas Linhas Passo 11
    4. Reorganize a nova equação para que um lado seja igual a zero. Use métodos matemáticos padrão para obter todos os termos em um lado da equação. Esta é a configuração necessária dos problemas para poder resolvê-los na próxima etapa.
  • Exemplo:X2+2X+1=X+7{estilo de exibição x^{2}+2x+1=x+7}x^{2}+2x+1=x+7
  • Subtraia x de cada lado:
  • X2+X+1=7{estilo de exibição x^{2}+x+1=7}x^{2}+x+1=7
  • Subtraia 7 de cada lado:
  • X2+X-6=0{estilo de exibição x^{2}+x-6=0}x^{2}+x-6=0
  • Imagem intitulada Algebricamente Encontre a Interseção de Duas Linhas Passo 12
    5.Resolva a equação quadrática. Se você tem um lado igual a zero, existem três maneiras de resolver a equação quadrática. Todo mundo prefere um método diferente. Você pode ler mais sobre a fórmula quadrática de `dividir o quadrado`, ou você pode seguir este exemplo ainda mais para ele fatorar método:
  • Exemplo:X2+X-6=0{estilo de exibição x^{2}+x-6=0}x^{2}+x-6=0
  • O objetivo da fatoração é determinar os dois fatores multiplicados juntos para produzir esta equação. Começando com o primeiro termo, sabemos que X2{estilo de exibição x^{2}}x^{2} pode ser dividido em x, e x. Escreva (x )(x ) = 0 para mostrar isso.
  • O último termo é -6. Anote cada par de fatores que se multiplicaram para dar -6 como o produto: -6*1{displaystyle -6*1}-6*1, -3*2{estilo de exibição -3*2}-3*2, -2*3{estilo de exibição -2*3}-2*3, e -1*6{displaystyle -1*6}-1*6.
  • O termo do meio é x (que você pode escrever como 1x). Some cada par de fatores para obter 1 como resposta. O par certo de fatores é -2*3{estilo de exibição -2*3}-2*3, Porque -2+3=1{estilo de exibição -2+3=1}-2+3=1.
  • Preencha as lacunas em sua resposta com estes poucos fatores: (X-2)(X+3)=0{estilo de exibição (x-2)(x+3)=0}(x-2)(x+3)=0.
  • Imagem intitulada Algebricamente Encontre a Interseção de Duas Linhas Passo 13
    6. Mantenha os olhos abertos para duas soluções para x. Se você trabalhar muito rápido, poderá encontrar uma resposta para o problema sem perceber que existe outra. Veja como encontrar os dois valores de x para linhas que se cruzam em dois pontos:
  • Exemplo (fator): Terminamos com a equação (X-2)(X+3)=0{estilo de exibição (x-2)(x+3)=0}(x-2)(x+3)=0. Se ambos os fatores entre parênteses são iguais a 0, então a equação é verdadeira. A única solução é X-2=0{estilo de exibição x-2=0}x-2=0X=2{estilo de exibição x=2}x=2. A outra solução é X+3=0{estilo de exibição x+3=0}x+3=0X=-3{estilo de exibição x=-3}x=-3.
  • Exemplo (equação quadrática ou divisão do quadrado): Se você usar um desses métodos para resolver a equação, uma raiz quadrada aparecerá. Por exemplo, nossa equação se torna X=(-1+25)/2{displaystyle x=(-1+{sqrt {25}})/2}x=(-1+{sqrt{25}})/2. Lembre-se de que você pode simplificar uma raiz quadrada para duas soluções diferentes: 25=5*5{displaystyle {sqrt {25}}=5*5}{sqrt{25}}=5*5, e25=(-5)*(-5){displaystyle {sqrt {25}}=(-5)*(-5)}{sqrt{25}}=(-5)*(-5). Escreva duas equações, uma para cada possibilidade, e resolva x para cada uma delas.
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    7. Resolver problemas com uma ou zero soluções. Duas linhas que mal se tocam têm uma interseção, e duas linhas que nunca se tocam têm zero. Você pode reconhecê-los das seguintes maneiras:
  • Uma solução: Os problemas podem ser divididos em dois fatores idênticos ((x-1)(x-1) = 0). Introduzido na fórmula quadrática, a raiz quadrada torna-se 0{displaystyle {sqrt {0}}}{sqrt{0}}. Você só precisa resolver uma equação.
  • Não há solução real: Não há fatores que atendam aos requisitos (listando para o médio prazo). Entrando na fórmula quadrática você obtém um número negativo sob o radical (como -2{displaystyle {sqrt {-2}}}{sqrt{-2}}). Escreva `sem solução` como sua resposta.
  • Imagem intitulada Algebricamente Encontre a Interseção de Duas Linhas Passo 15
    8. Conecte os valores x de volta à equação original. Uma vez que você tenha o valor x da interseção, coloque-o de volta em uma das equações com as quais você começou. Resolva para y para encontrar o valor de y. Se houver um segundo valor x, repita para este valor também.
  • Exemplo: Encontramos duas soluções, X=2{estilo de exibição x=2}x=2 e X=-3{estilo de exibição x=-3}x=-3. Uma de nossas linhas tem a equação y=X+7{estilo de exibição y=x+7}y=x+7. substituto y=2+7{estilo de exibição y=2+7}y=2+7 e y=-3+7{estilo de exibição y=-3+7}y=-3+7, e resolva cada equação para obter y=9{estilo de exibição y=9}a = 9 e y=4{estilo de exibição y=4}y=4 se você receber uma resposta.
  • Imagem intitulada Algebricamente Encontre a Interseção de Duas Linhas Passo 16
    9. Escreva a resposta como coordenadas. Agora você escreve a resposta como coordenadas, com o valor x e o valor y da interseção. Se você tiver duas respostas, certifique-se de combinar o valor x correto com cada valor y.
  • Exemplo: Quando nós X=2{estilo de exibição x=2}x=2 entrada, obtemos y=9{estilo de exibição y=9}a = 9, de modo que um ponto de interseção é igual a (2, 9). Fazemos o mesmo para a segunda solução, e isso nos dá o ponto de interseção (-3, 4) sobre.
  • Pontas

    • As equações para um círculo ou elipse têm um X2{estilo de exibição x^{2}}x^{2} prazo e uma y2{displaystyle y^{2}}^{2} prazo. Para encontrar a interseção de um círculo e uma linha reta, resolva x dentro da equação linear. Substitua a solução de x na equação do círculo, e a equação quadrática ficou muito mais fácil. Esses problemas podem ter 0, 1 ou 2 soluções, conforme já indicado nos métodos acima.
    • Um círculo e uma parábola (ou qualquer outra equação quadrática) podem ter 0, 1, 2, 3 ou 4 soluções. Encontre a variável que é um quadrado em ambas as equações - digamos que isso é x. solto X2{estilo de exibição x^{2}}x^{2} e substitua a resposta por X2{estilo de exibição x^{2}}x^{2} na outra equação. Resolva y para encontrar as soluções 0, 1 ou 2. Conecte cada solução de volta à equação quadrática original e resolva para x. Cada um deles pode ter 0, 1 ou 2 soluções.

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