Fatorando Binômios (com Imagens)

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Degraus
Pontas
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Em álgebra, binômios são expressões de dois termos conectadas por um sinal de mais ou menos, como $uma X + b$ $machado + b$ . O primeiro termo sempre inclui uma variável, enquanto o segundo termo não precisa. Fatorar um binômio significa procurar termos mais simples que, quando multiplicados, produzem aquela expressão binomial, o que ajuda a resolver ou simplificar para outras tarefas.

Degraus

Parte 1 de 3: Binomiais de fatoração

Imagem intitulada Fator Binomials Step 1

1. Revise os conceitos básicos de fatoração novamente. Fatorar é dividir um número grande em seus divisores mais simples. Cada uma dessas partes é chamada de `fator`. Por exemplo, o número 6 é divisível por quatro números diferentes: 1, 2, 3 e 6. Então 1, 2, 3 e 6 são os fatores de 6.

Os fatores de 32 são 1, 2, 4, 8, 16 e 32
Tanto `1` quanto o número que você fatora são sempre fatores. Então os fatores de um número pequeno como 3 são apenas 1 e 3.
Fatores são apenas aqueles números que são totalmente divisíveis, ou seja, os números `inteiros`. Você pode dividir 32 por 3,564 ou 21,4952, mas esses não são fatores, apenas números decimais.

Imagem intitulada Fator Binomials Step 2

2. Liste os termos do binômio para torná-los mais fáceis de ler. Um binômio nada mais é do que a adição ou subtração de dois termos, pelo menos um dos quais contém uma variável. Às vezes, essas variáveis têm expoentes, como

X 2

$x^{2}$ ou

5 y 4

$5 anos^{4}$ . Se você está tentando fatorar binômios pela primeira vez, ajuda ordenar as equações em termos de variáveis decrescentes, o que significa que o maior expoente vem por último. Por exemplo:

3 t + 6

$3t+6$ →

6 + 3 t

$6+3t$

3 X 4 + 9 X^{2}

$3x^{4}+9x^{2}$ →

9 X 2 + 3 X^{4}

$9x^{2}+3x^{4}$

X 2 - 2

$x^{2}-2$ →

- 2 + X 2

$-2+x^{2}$

Observe como os sinais de menos permanecem na frente do 2. Quando um termo é subtraído, o sinal de menos permanece na frente dele.

Imagem intitulada Factor Binomials Step 3

3. Encontre o máximo divisor comum dos dois termos. Isso significa que você está procurando o maior número que ambas as partes do binômio são divisíveis por. Se isso não funcionar, fatore os dois números por conta própria e veja qual é o número correspondente mais alto. Por exemplo:

Atribuição do exercício:

3 t + 6

$3t+6$ .

Fatores de 3:1, 3

Fatores de 6: 1, 2, 3, 6.

`O máximo divisor comum é 3`.

Imagem intitulada Factor Binomials Step 4

4. Divida o máximo divisor comum para cada termo. Se você conhece o denominador comum, deve removê-lo de cada termo. Observe que você acabou de dividir os termos, tornando cada um deles um problema de divisão menor. Se feito corretamente, ambas as equações têm o mesmo fator:

Atribuição do exercício:

3 t + 6

$3t+6$ .

Encontre os máximos divisores comuns: 3

Para remover o fator de ambos os termos:

3 t 3 + \frac{6}{3} = t + 2

${frac{3t}{3}}+{frac{6}{3}}=t+2$

Imagem intitulada Factor Binomials Step 5

5. Multiplique seu fator pela expressão resultante para arredondar. No último problema, você removeu um 3 e obtém

t + 2

$t+2$ . Mas você não quer se livrar dos 3 completamente, apenas os leve em consideração para simplificar as coisas. Você não pode simplesmente excluir números sem colocá-los de volta! Multiplique o fator pela expressão para completar esta seção. Por exemplo:

Atribuição do exercício:

3 t + 6

$3t+6$

Encontre os máximos divisores comuns: 3

Para remover o fator de ambos os termos:

3 t 3 + \frac{6}{3} = t + 2

${frac{3t}{3}}+{frac{6}{3}}=t+2$

Multiplique o fator pela nova expressão:

3 (t + 2)

$3(t+2)$

Resposta final dissolvida: $3 (t + 2)$ $3(t+2)$

Imagem intitulada Fator Binomials Step 6

6. Verifique seu trabalho multiplicando para a equação original. Se você fez tudo certo, é fácil verificar se fez certo. Multiplique seu fator por ambos os termos individuais entre parênteses. Se corresponder ao binômio original, você fez tudo certo. Do início ao fim resolvemos a expressão

12 t + 18

$12t+18$ para praticar:

Para reordenar os termos:

18 + 12 t

$18+12t$

Encontrando o máximo divisor comum:

6

$6$

Para remover o fator de ambos os termos:

18 t 6 + 12 t 6 = 3 + 2 t

${frac{18t}{6}}+{frac{12t}{6}}=3+2t$

Multiplique o fator pela nova expressão:

6 (3 + 2 t)

$6(3+2t)$

Verifique a resposta:

(6 * 3) + (6 * 2 t) = 18 + 12 t

$(6*3)+(6*2t)=18+12t$

Parte 2 de 3: Fatorando binômios para resolver equações

Imagem intitulada Fator Binomials Step 7

1. Fator para simplificar equações para que sejam mais fáceis de resolver. Ao resolver uma equação com binômios, especialmente binômios complexos, pode parecer que não há como fazer tudo corresponder. Por exemplo, tente resolver o seguinte:

5 y - 2 y 2 = - 3 y

$5a-2a^{2}=-3a$ . Uma maneira de fazer isso, especialmente com expoentes, é fatorar primeiro.

Atribuição do exercício: $5 y - 2 y 2 = - 3 y$ $5a-2a^{2}=-3a$
Lembre-se que binômios só podem ter dois termos. Se houver mais de dois termos, você deve Aprenda a resolver polinômios.

Imagem intitulada Fator Binomials Step 8

2. Adicionar e subtrair para que um lado da equação seja igual a zero. Toda essa estratégia se baseia em um dos fatos mais fundamentais da matemática: algo multiplicado por zero deve ser igual a zero. Então, se sua equação é igual a zero, então um dos termos fatorados deve ser igual a zero! Para começar, você irá adicionar e subtrair para que um lado seja igual a zero.

Atribuição do exercício:

5 y - 2 y 2 = - 3 y

$5a-2a^{2}=-3a$

igual a zero:

5 y - 2 y 2 + 3 y = - 3 y + 3 y

$5a-2a^{2}+3a=-3a+3a$

8 y - 2 y 2 = 0

$8a-2a^{2}=0$

Imagem intitulada Fator Binomials Step 9

3. Dissolva o lado diferente de zero como você está acostumado. Neste ponto você está apenas fingindo que o outro lado não existe. Encontre o máximo divisor comum, divida-o e crie sua expressão fatorada.

Atribuição do exercício:

5 y - 2 y 2 = - 3 y

$5a-2a^{2}=-3a$

igual a zero:

8 y - 2 y 2 = 0

$8a-2a^{2}=0$

Dissolver:

2 y (4 - y) = 0

$2a(4-a)=0$

Imagem intitulada Fator Binomials Step 10

4. Defina os termos dentro e fora dos parênteses iguais a zero. No problema prático você multiplica 2y por (4 – y), e isso deve ser igual a zero. Como algo multiplicado por zero é igual a zero, isso significa que 2y ou (4 – y) deve ser igual a zero. Faça duas equações separadas para descobrir qual valor y deve ter para tornar cada lado igual a zero.

Atribuição do exercício:

5 y - 2 y 2 = - 3 y

$5a-2a^{2}=-3a$

igual a zero:

8 y - 2 y 2 + 3 y = 0

$8a-2a^{2}+3a=0$

Dissolver:

2 y (4 - y) = 0

$2a(4-a)=0$

Faça ambos os termos iguais a zero 0:

2 y = 0

$2a=0$

4 - y = 0

$4 anos = 0$

Imagem intitulada Factor Binomials Step 11

5. Resolva ambas as equações para zero para a resposta ou respostas finais. Você pode obter uma resposta ou várias respostas. Lembre-se, apenas um lado deve ser igual a zero, para que você possa obter alguns valores diferentes para y que resolvam a mesma equação. Os últimos passos da atribuição do exercício:

2 y = 0

$2a=0$

2 y 2 = \frac{0}{2}

${frac{2y}{2}}={frac{0}{2}}$

y = 0

4 - y = 0

$4 anos = 0$

4 - y + y = 0 + y

$4-y+y=0+y$

y = 4

Imagem intitulada Factor Binomials Step 12

6. Aplique suas respostas de volta à equação original para se certificar de que estão corretas. Depois de encontrar os valores corretos para y, você poderá usá-los para resolver a equação. Isso é tão simples quanto experimentar cada valor de y em vez da variável como mostrado abaixo. As respostas são y = 0 e y = 4, então:

5 (0) - 2 (0) 2 = - 3 (0)

$5(0)-2(0)^{2}=-3(0)$

0 + 0 = 0

$0+0=0$

0 = 0

$0=0$ Esta resposta está correta

5 (4) - 2 (4) 2 = - 3 (4)

$5(4)-2(4)^{2}=-3(4)$

20 - 32 = - 12

$20-32=-12$

- 12 = - 12

$-12=-12$ Essa resposta também está correta.

Parte 3 de 3: Lidando com problemas mais difíceis

Imagem intitulada Fator Binomials Step 13

1. Lembre-se que as variáveis contam como fatores, mesmo com expoentes. Lembre-se de que fatorar é determinar quais números se encaixam no inteiro. A expressão

X 4

$x^{4}$ é outra maneira de dizer

X * X * X * X

$x*x*x*x$ . Isso significa que você pode colocar qualquer x fora dos parênteses se o outro termo também tiver um. Trate variáveis como números regulares. Por exemplo:

$2 t + t 2$ $2t+t^{2}$ pode ser fatorado, porque ambos os termos contêm um t. A resposta final será $t (2 + t)$ $t(2+t)$
Você pode até colocar várias variáveis fora dos parênteses ao mesmo tempo. Por exemplo, em $X 2 + X^{4}$ $x^{2}+x^{4}$ ambos os termos contêm o mesmo $X 2$ $x^{2}$ . Você pode dissolver isso em $X 2 (1 + X^{2})$ $x^{2}(1+x^{2})$

Imagem intitulada Factor Binomials Step 14

2. Reconhecer binômios ainda não simplificados combinando termos semelhantes. Tomemos, por exemplo, a expressão

6 + 2 X + 14 + 3 X

$6+2x+14+3x$ . Aqui parece que você está lidando com quatro termos, mas se você olhar mais de perto, perceberá que existem apenas dois. Você pode adicionar termos semelhantes e, como 6 e 14 não têm variável e 2x e 3x compartilham a mesma variável, eles podem ser mesclados. Dissolver é então fácil:

Atribuição original:

6 + 2 X + 14 + 3 X

$6+2x+14+3x$

Para reordenar os termos:

2 X + 3 X + 14 + 6

$2x+3x+14+6$

Para mesclar termos semelhantes:

5 X + 20

$5x+20$

Encontre os máximos divisores comuns:

5 (X) + 5 (4)

$5(x)+5(4)$

Dissolver:

5 (X + 4)

$5(x+4)$

Imagem intitulada Factor Binomials Step 15

3. Reconhecer a especial `diferença de quadrados perfeitos`. Um quadrado perfeito é um número cuja raiz é um número inteiro, como

9

$9$

(3 * 3)

$(3*3)$ ,

X 2

$x^{2}$

(X * X)

$(x*x)$ , ou mesmo

144 t 2

$144t^{2}$

(12 t * 12 t)

$(12t*12t)$ Se o seu binômio é uma soma negativa com dois quadrados perfeitos, como

uma 2 - b^{2}

$a^{2}-b^{2}$ , então você pode simplesmente usá-los nesta fórmula:

A fórmula para a diferença de quadrados perfeitos:

uma 2 - b^{2} = (uma + b) (uma - b)

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

Atribuição do exercício:

4 X 2 - 9

$4x^{2}-9$

Determine as raízes quadradas:

\sqrt{4 X} 2 = 2 X

${sqrt{4x^{2}}}=2x$

\sqrt{9} = 3

${sqrt{9}}=3$

Aplique raízes quadradas à fórmula: $4 X 2 - 9 = (2 X + 3) (2 X - 3)$ $4x^{2}-9=(2x+3)(2x-3)$

Imagem intitulada Factor Binomials Step 16

4. Aprenda a simplificar a `diferença de cubos perfeitos`. Como os quadrados perfeitos, esta é uma fórmula simples onde dois cubos são subtraídos um do outro. Por exemplo,

uma 3 - b^{3}

$a^{3}-b^{3}$ . Como antes, encontre a raiz cúbica de cada um e use isso na fórmula:

Fórmula da diferença de terceiras potências:

uma 3 - b^{3} = (uma - b) ({uma}^{2} + uma b + b^{2})

$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

Atribuição do exercício:

8 X 3 - 27

$8x^{3}-27$

Determine as raízes cúbicas:

8 X 33 = 2 X

${sqrt[ {3}]{8x^{3}}}=2x$

273 = 3

${sqrt[ {3}]{27}}=3$

Aplique cubos à fórmula: $8 X 3 - 27 = (2 X - 3) (4 X^{2} + 6 X + 9)$ $8x^{3}-27=(2x-3)(4x^{2}+6x+9)$

Imagem intitulada Factor Binomials Step 17

5. Saiba que a soma de cubos perfeitos também se encaixa em uma fórmula. Ao contrário da diferença de quadrados perfeitos, você pode usar cubos adicionados, como

uma 3 + b^{3}

$a^{3}+b^{3}$ , também fácil de encontrar com uma fórmula simples. Isso é quase exatamente o mesmo que acima, mas com alguns prós e contras invertidos. A fórmula é tão fácil quanto as outras duas, e tudo o que você precisa fazer é reconhecer os dois cubos do problema:

Fórmula da soma de cubos perfeitos:

uma 3 + b^{3} = (uma + b) ({uma}^{2} - uma b + b^{2})

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

Atribuição do exercício:

8 X 3 - 27

$8x^{3}-27$

Determine as raízes cúbicas:

8 X 33 = 2 X

${sqrt[ {3}]{8x^{3}}}=2x$

273 = 3

${sqrt[ {3}]{27}}=3$

Aplique os cubos à fórmula: $8 X 3 - 27 = (2 X + 3) (4 X^{2} - 6 X + 9)$ $8x^{3}-27=(2x+3)(4x^{2}-6x+9)$

Pontas

Nem todos os binômios têm divisores comuns! Alguns já foram simplificados o máximo possível.
Se você não tem certeza se existe um divisor comum, divida por números menores primeiro. Por exemplo, se você não ver imediatamente que 16 é o divisor comum de 32 e 16, comece a dividir os dois números por 2. Isso deixa 16 e 8, que também podem ser divididos por 8. Agora você tem 2 e 1, os menores fatores. Há claramente um divisor comum maior que 8 e 2.
Observe que uma sexta potência (x) é um quadrado perfeito e é um cubo perfeito. Portanto, você pode aplicar qualquer fórmula especial acima, em qualquer ordem, a um binômio que é a diferença de sextas potências perfeitas, como x - 64. No entanto, você pode achar mais fácil aplicar a fórmula de diferença para quadrados perfeitos primeiro para que você possa fatorar ainda mais o binômio.